Paramètres de résistance au cisaillement (c’, φ’)

Mécanique des Sols : Détermination des Paramètres de Résistance (c', φ')

Détermination des paramètres de résistance au cisaillement (c', φ')

Contexte : Dévoiler la Résistance Réelle d'un Sol

La résistance au cisaillement d'un sol est sa capacité à résister aux forces qui tendent à le faire glisser. Cette résistance est gouvernée par les paramètres effectifsParamètres de résistance (c' et φ') qui dépendent des contraintes effectives, c'est-à-dire des forces transmises directement entre les grains du sol. Ils représentent la résistance intrinsèque du squelette solide. : la cohésion effective (\(c'\)) et l'angle de frottement effectif (\(\phi'\)). Pour les déterminer, on réalise des essais en laboratoire, comme l'essai triaxial CU+uEssai Consolidé Non-drainé avec mesure de la Pression Interstitielle (u). Le sol est d'abord consolidé, puis cisaillé rapidement (non-drainé), mais on mesure la pression 'u' qui se développe.. Cet essai permet de mesurer la pression de l'eau dans les pores du sol (\(u\)) et de calculer ainsi les contraintes effectives, qui sont les vrais moteurs du comportement du sol.

Remarque Pédagogique : Comprendre la différence entre contraintes totales et effectives est la clé de la mécanique des sols. Cet exercice montre comment, à partir de mesures en contraintes totales et de la pression de l'eau, on peut remonter aux paramètres fondamentaux (\(c', \phi'\)) qui régissent la stabilité de n'importe quel ouvrage géotechnique (fondations, talus, etc.).

Objectifs Pédagogiques

Calculer les contraintes effectives à partir des contraintes totales et de la pression interstitielle.
Tracer les cercles de Mohr des contraintes effectives à la rupture.
Définir l'enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb comme la tangente commune à plusieurs cercles de Mohr.
Déterminer graphiquement et par le calcul les paramètres de résistance effectifs \(c'\) et \(\phi'\).
Comprendre l'importance de réaliser au moins deux essais pour déterminer ces deux paramètres.

Données de l'étude

On réalise deux essais triaxiaux de type Consolidé Non-drainé (CU+u) sur des échantillons identiques d'une argile saturée. Les résultats obtenus à la rupture sont les suivants :

Essai	Contrainte de confinement (\(\sigma_3\))	Contrainte axiale à la rupture (\(\sigma_1\))	Pression interstitielle à la rupture (\(u\))
1	150 kPa	310 kPa	85 kPa
2	300 kPa	580 kPa	180 kPa

Questions à traiter

Pour chaque essai, calculer les contraintes principales effectives (\(\sigma'_1\) et \(\sigma'_3\)) à la rupture.
Tracer les deux cercles de Mohr des contraintes effectives à la rupture dans le plan de Mohr (\(\sigma', \tau\)).
Déterminer graphiquement l'angle de frottement effectif \(\phi'\) et la cohésion effective \(c'\) du sol en traçant l'enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb.
Vérifier les résultats par le calcul.

Correction : Détermination de c' et φ'

Question 1 : Calcul des Contraintes Effectives

Principe :

Le principe de la contrainte effective de Terzaghi stipule que la contrainte totale (\(\sigma\)) appliquée à un sol se divise en deux parties : une partie supportée par le squelette solide (la contrainte effective \(\sigma'\)) et une autre par l'eau contenue dans les pores (la pression interstitielle \(u\)). La résistance du sol ne dépend que de la contrainte effective.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la première et la plus importante étape. Sans passer en contraintes effectives, toute analyse de la résistance d'un sol saturé serait erronée. C'est pour cela qu'on mesure la pression \(u\) dans cet essai.

Formule(s) utilisée(s) :

\sigma' = \sigma - u

Donnée(s) :

Essai 1: \(\sigma_1 = 310 \, \text{kPa}\), \(\sigma_3 = 150 \, \text{kPa}\), \(u = 85 \, \text{kPa}\)
Essai 2: \(\sigma_1 = 580 \, \text{kPa}\), \(\sigma_3 = 300 \, \text{kPa}\), \(u = 180 \, \text{kPa}\)

Calcul(s) :

Pour l'essai 1 :

\begin{aligned} \sigma'_1 &= \sigma_1 - u = 310 - 85 = 225 \, \text{kPa} \\ \sigma'_3 &= \sigma_3 - u = 150 - 85 = 65 \, \text{kPa} \end{aligned}

Pour l'essai 2 :

\begin{aligned} \sigma'_1 &= \sigma_1 - u = 580 - 180 = 400 \, \text{kPa} \\ \sigma'_3 &= \sigma_3 - u = 300 - 180 = 120 \, \text{kPa} \end{aligned}

Points de vigilance :

Ne pas inverser les contraintes : Il est crucial de soustraire la pression interstitielle \(u\) à la fois de \(\sigma_1\) et de \(\sigma_3\) pour obtenir les contraintes effectives correspondantes. Une erreur fréquente est de ne la soustraire qu'à une seule des deux.

Le saviez-vous ?

Résultat : Les contraintes effectives à la rupture sont :
- Essai 1 : \(\sigma'_1 = 225 \, \text{kPa}\), \(\sigma'_3 = 65 \, \text{kPa}\)
- Essai 2 : \(\sigma'_1 = 400 \, \text{kPa}\), \(\sigma'_3 = 120 \, \text{kPa}\)

Question 2 : Tracé des Cercles de Mohr

Principe :

Chaque état de contrainte à la rupture, défini par \(\sigma'_1\) et \(\sigma'_3\), peut être représenté graphiquement par un cercle dans le plan de Mohr (\(\sigma', \tau\)). Le diamètre de chaque cercle est défini par les deux contraintes principales effectives.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le cercle de Mohr est une "carte d'identité" de l'état de contrainte en un point. Il nous montre d'un seul coup d'œil la contrainte normale et la contrainte de cisaillement sur n'importe quel plan passant par ce point. Le sommet du cercle représente la contrainte de cisaillement maximale que subit le sol.

Formule(s) utilisée(s) :

\text{Centre du cercle: } C = \frac{\sigma'_1 + \sigma'_3}{2}

\text{Rayon du cercle: } R = \frac{\sigma'_1 - \sigma'_3}{2}

Donnée(s) :

Essai 1: \(\sigma'_1 = 225 \, \text{kPa}\), \(\sigma'_3 = 65 \, \text{kPa}\)
Essai 2: \(\sigma'_1 = 400 \, \text{kPa}\), \(\sigma'_3 = 120 \, \text{kPa}\)

Calcul des centres et rayons :

Pour l'essai 1 :

C_1 = \frac{225+65}{2} = 145 \, \text{kPa}; \quad R_1 = \frac{225-65}{2} = 80 \, \text{kPa}

Pour l'essai 2 :

C_2 = \frac{400+120}{2} = 260 \, \text{kPa}; \quad R_2 = \frac{400-120}{2} = 140 \, \text{kPa}

Tracé Graphique :

Points de vigilance :

Utiliser les bonnes contraintes : Il est impératif de tracer les cercles avec les contraintes effectives (\(\sigma'\)) et non les contraintes totales (\(\sigma\)). Le tracé en contraintes totales donnerait des paramètres de résistance apparents, non intrinsèques au sol.

Le saviez-vous ?

Résultat : Les deux cercles de Mohr représentant les états de contrainte effective à la rupture sont tracés.

Question 3 : Détermination Graphique de c' et φ'

Principe :

L'enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb est la droite qui est tangente aux deux cercles de Mohr que nous venons de tracer. L'ordonnée à l'origine de cette droite (son intersection avec l'axe vertical \(\tau\)) nous donne la cohésion \(c'\). L'angle que fait cette droite avec l'horizontale est l'angle de frottement effectif \(\phi'\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le tracé graphique est une méthode très visuelle et intuitive. Il permet de "voir" la résistance du sol. On cherche littéralement la seule droite qui "effleure" parfaitement les deux cercles. C'est cette droite qui définit les propriétés intrinsèques du matériau.

Tracé Graphique :

En traçant la tangente commune aux deux cercles sur le graphique, on peut mesurer directement les valeurs : l'ordonnée à l'origine \(c'\) et l'angle d'inclinaison de la tangente \(\phi'\).

Résultat graphique : On lit approximativement \(c' \approx 5 \, \text{kPa}\) et \(\phi' \approx 31^\circ\).

Question 4 : Vérification par le Calcul

Principe :

On utilise la relation géométrique entre les centres (\(C_1, C_2\)), les rayons (\(R_1, R_2\)) des cercles et les paramètres de l'enveloppe tangente (\(c', \phi'\)). Cela nous donne un système de deux équations à deux inconnues que l'on peut résoudre de manière analytique pour plus de précision.

Formule(s) utilisée(s) :

R = C \sin\phi' + c'\cos\phi'

Calcul(s) :

On applique la formule pour chaque essai :

\begin{cases} R_1 = C_1 \sin\phi' + c'\cos\phi' \\ R_2 = C_2 \sin\phi' + c'\cos\phi' \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 80 = 145 \sin\phi' + c'\cos\phi' \\ 140 = 260 \sin\phi' + c'\cos\phi' \end{cases}

Soustrayons la première équation de la seconde pour éliminer \(c'\) :

\begin{aligned} 140 - 80 &= (260 - 145) \sin\phi' \\ 60 &= 115 \sin\phi' \\ \sin\phi' &= \frac{60}{115} \approx 0.5217 \end{aligned}

\phi' = \arcsin(0.5217) \approx 31.45^\circ

Maintenant, remplaçons \(\phi'\) dans la première équation pour trouver \(c'\) :

\begin{aligned} 80 &= 145 \sin(31.45^\circ) + c'\cos(31.45^\circ) \\ 80 &= 145 \times 0.5217 + c' \times 0.8531 \\ 80 &= 75.65 + 0.8531 c' \\ c' &= \frac{80 - 75.65}{0.8531} \\ c' &\approx 5.1 \, \text{kPa} \end{aligned}

Résultat par calcul : \(c' \approx 5.1 \, \text{kPa}\) et \(\phi' \approx 31.5^\circ\). Ces valeurs sont plus précises et confirment l'estimation graphique.

Simulation Interactive : Trouver la Droite de Rupture

Les cercles de Mohr des deux essais sont tracés. Utilisez les curseurs pour ajuster les paramètres \(c'\) et \(\phi'\) et trouver l'enveloppe de rupture qui est tangente aux deux cercles.

Paramètres de l'Enveloppe de Rupture

Cohésion c' (10 kPa)

Angle de frottement φ' (25 °)

Plan de Mohr (\(\sigma', \tau\))

Le Saviez-Vous ?

L'essai triaxial est considéré comme l'un des essais les plus fiables et polyvalents en mécanique des sols. Il permet de simuler une grande variété de conditions de contraintes que peut subir un sol dans la nature, bien au-delà de la simple compression.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi a-t-on besoin de deux essais ?

Pour déterminer deux inconnues (\(c'\) et \(\phi'\)), il nous faut un système de deux équations indépendantes. Chaque essai triaxial à la rupture fournit une équation (un cercle de Mohr auquel la droite doit être tangente). Il faut donc au minimum deux essais pour définir de manière unique la droite de rupture.

Que signifie "Consolidé Non-drainé" (CU) ?

Cela signifie que l'essai se déroule en deux phases. "Consolidé" (C) : on laisse d'abord l'eau s'échapper sous la pression de confinement \(\sigma_3\) jusqu'à ce que le sol se stabilise. "Non-drainé" (U) : ensuite, on cisaille l'échantillon rapidement sans laisser l'eau s'échapper. C'est pendant cette deuxième phase que la pression interstitielle \(u\) augmente et doit être mesurée.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si, pour un sol, on obtient \(c' = 0\), de quel type de sol s'agit-il probablement ?

D'une argile raide.
D'un limon.
D'un sable ou d'un gravier.

2. Dans un essai CU+u, si la pression interstitielle \(u\) mesurée à la rupture est très élevée, cela signifie que le sol a une tendance...

À la contraction (perte de volume) lors du cisaillement.
À la dilatance (gain de volume) lors du cisaillement.
À ne pas changer de volume.

Glossaire

Contrainte Effective (\(\sigma'\)): Partie de la contrainte totale supportée par le squelette solide du sol. C'est la contrainte qui contrôle la résistance et la déformation du sol. \(\sigma' = \sigma - u\).
Cercle de Mohr: Représentation graphique de l'état de contrainte en un point. Il permet de visualiser les contraintes normales et de cisaillement sur n'importe quel plan.
Enveloppe de Rupture: La courbe ou la droite qui est tangente à tous les cercles de Mohr possibles à la rupture. Pour le critère de Mohr-Coulomb, c'est une droite définie par \(c'\) et \(\phi'\).
Essai CU+u: Essai triaxial Consolidé (C) Non-drainé (U) avec mesure de la pression interstitielle (+u). Il permet de déterminer les paramètres de résistance effectifs.

D’autres exercices de Mécanique des sols:

Paramètres de résistance au cisaillement (c’, φ’)

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Questions à traiter

Correction : Détermination de c' et φ'

Question 1 : Calcul des Contraintes Effectives

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Tracé des Cercles de Mohr

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul des centres et rayons :

Tracé Graphique :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Détermination Graphique de c' et φ'

Principe :

Remarque Pédagogique :

Tracé Graphique :

Question 4 : Vérification par le Calcul

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Simulation Interactive : Trouver la Droite de Rupture

Paramètres de l'Enveloppe de Rupture

Plan de Mohr (\(\sigma', \tau\))

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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