Poussée des Terres au Repos

Comprendre la Poussée des Terres au Repos

Entre les états de poussée active (mur s'écartant du sol) et de butée passive (mur poussé contre le sol), il existe un état intermédiaire : l'état de repos. Il correspond au cas où le mur est parfaitement rigide et ne subit aucun déplacement. La contrainte horizontale est alors supérieure à la contrainte de poussée active mais inférieure à la contrainte de butée passive. Le coefficient qui lie la contrainte horizontale effective à la contrainte verticale effective est appelé **coefficient de pression des terres au repos**, noté \(K_0\).

Remarque Pédagogique : Cet état est particulièrement important pour le dimensionnement des structures rigides qui ne peuvent pas se déformer, comme les murs de sous-sol d'un bâtiment ou les tunnels. Utiliser la poussée active dans ces cas serait non sécuritaire, car les faibles déplacements requis pour l'atteindre ne se produiront pas.

Données de l'étude

On étudie le mur d'un sous-sol en béton armé, considéré comme infiniment rigide. Le mur retient un remblai de sable sur une hauteur de 4 mètres. Une surcharge uniforme, due par exemple à une aire de stockage, s'applique sur toute la surface du remblai.

Caractéristiques du mur et du sol :

Hauteur du mur (\(H\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Poids volumique du sable (\(\gamma\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
Angle de frottement interneParamètre qui décrit la résistance au cisaillement d'un sol due à la friction entre ses grains. Plus l'angle est élevé, plus le sol est résistant. (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
Surcharge en surfaceCharge uniformément répartie appliquée à la surface du sol derrière le mur (ex: trafic, stockage de matériaux). (\(q\)) : \(10 \, \text{kPa}\)

Schéma du Mur de Sous-sol

Questions à traiter

Calculer le coefficient de pression des terres au repos, \(K_0\), en utilisant la formule de Jaky.
Déterminer et dessiner le diagramme de la contrainte de poussée au repos sur le mur.
Calculer la force de poussée au repos totale (\(P_0\)) par mètre linéaire de mur et son point d'application.

Correction : Poussée des Terres au Repos

Question 1 : Coefficient de Pression au Repos (\(K_0\))

Principe :

Pour un sol normalement consolidé (qui n'a jamais subi de contraintes plus fortes par le passé), le coefficient \(K_0\) peut être estimé par la formule empirique de Jaky. Cette formule simple le relie directement à l'angle de frottement interne du sol \(\phi'\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Pour un angle de frottement donné, on a toujours la relation \(K_a < K_0 < K_p\). La valeur de \(K_0\) représente l'état de contrainte "naturel" dans le sol avant toute excavation ou construction.

Formule(s) utilisée(s) :

K_0 = 1 - \sin(\phi')

Données(s) :

Angle de frottement (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} K_0 &= 1 - \sin(30^\circ) \\ &= 1 - 0.5 \\ &= 0.5 \end{aligned}

Résultat Question 1 : Le coefficient de pression des terres au repos est \(K_0 = 0.5\).

Question 2 : Diagramme de Poussée au Repos

Principe :

La contrainte horizontale au repos à une profondeur \(z\) est la somme de deux effets : la poussée due au poids propre du sol (\(K_0 \gamma z\)) et la poussée due à la surcharge en surface (\(K_0 q\)). Le diagramme total est donc la superposition d'un rectangle (dû à la surcharge) et d'un triangle (dû au poids du sol).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Contrairement au diagramme de poussée active pour un sol sans cohésion, le diagramme de poussée au repos n'est pas nul en surface lorsqu'il y a une surcharge. Il démarre avec une valeur constante égale à \(K_0 q\), puis augmente linéairement.

Formule(s) utilisée(s) :

\sigma_0(z) = K_0 (\gamma z + q)

Calcul(s) et Diagramme :

1. Contrainte en tête du mur (z = 0) :

\sigma_0(0) = K_0 \cdot q = 0.5 \times 10 \, \text{kPa} = 5 \, \text{kPa}

2. Contrainte à la base du mur (z = H) :

\begin{aligned} \sigma_0(H) &= K_0 (\gamma H + q) \\ &= 0.5 \times (18 \times 4 + 10) \\ &= 0.5 \times (72 + 10) = 41 \, \text{kPa} \end{aligned}

Diagramme de la Poussée au Repos

Résultat Question 2 : Le diagramme des contraintes au repos est un trapèze, avec une valeur de 5 kPa en tête et de 41 kPa à la base du mur.

Test de Compréhension : Si la surcharge \(q\) était nulle, quelle serait la forme du diagramme de poussée au repos ?

Rectangulaire
Il n'y aurait pas de poussée.
Triangulaire

Question 3 : Force Totale au Repos (\(P_0\)) et Point d'Application

Principe :

La force totale de poussée au repos, \(P_0\), correspond à l'aire du diagramme de contrainte trapézoïdal. On peut la calculer en décomposant le trapèze en un rectangle (dû à la surcharge) et un triangle (dû au poids du sol), puis en additionnant leurs forces et en cherchant le barycentre des deux forces pour trouver le point d'application final.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le point d'application de la force totale pour un diagramme trapézoïdal n'est plus à H/3. Il sera plus haut, car la partie rectangulaire "remonte" le centre de gravité de l'effort total. Il est toujours plus simple et plus sûr de calculer les forces et les moments de chaque partie (rectangle, triangle) séparément.

Calcul(s) :

1. Décomposition en deux forces :

\begin{aligned} \text{Force du rectangle (surcharge) : } P_{0q} &= (K_0 q) \times H = 5 \times 4 = 20 \, \text{kN/m} \\ \text{Force du triangle (sol) : } P_{0\gamma} &= \frac{1}{2} (K_0 \gamma H) \times H = \frac{1}{2} \times (0.5 \times 18 \times 4) \times 4 = 72 \, \text{kN/m} \end{aligned}

2. Force totale :

P_0 = P_{0q} + P_{0\gamma} = 20 + 72 = 92 \, \text{kN/m}

3. Point d'application (en partant de la base) :

\begin{aligned} z_0 &= \frac{(P_{0q} \times H/2) + (P_{0\gamma} \times H/3)}{P_0} \\ &= \frac{(20 \times 2) + (72 \times 4/3)}{92} \\ &= \frac{40 + 96}{92} = \frac{136}{92} \approx 1.48 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La force de poussée au repos est \(P_0 = 92 \, \text{kN/m}\), appliquée à 1.48 m au-dessus de la base du mur.

Tableau Récapitulatif Interactif

Paramètre	Valeur Calculée
Coefficient au repos (\(K_0\))	Cliquez pour révéler
Contrainte en tête (\(\sigma_0(0)\))	Cliquez pour révéler
Contrainte à la base (\(\sigma_0(H)\))	Cliquez pour révéler
Force Totale au Repos (\(P_{0}\))	Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Si la surcharge est doublée (\(q = 20 \text{ kPa}\)), recalculez la force de poussée totale au repos \(P_0\). Entrez votre réponse en kN/m, arrondie à une décimale.

\(P_{0}\) (en kN/m) =

Pièges à Éviter

Oublier la surcharge : Une erreur commune est d'oublier la poussée due à la surcharge, qui crée la partie rectangulaire du diagramme de contraintes. Elle doit être ajoutée sur toute la hauteur du mur.

Confondre K0 et Ka : N'utilisez jamais \(K_a\) pour une structure qui ne peut pas se déplacer (ex: mur de sous-sol bloqué par des planchers). La poussée au repos \(K_0\) est significativement plus élevée.