Poussée des terres en conditions sismiques

Géotechnique : Calcul de la Poussée des Terres en Conditions Sismiques (Mononobe-Okabe)

Calcul de la poussée des terres en conditions sismiques (méthode de Mononobe-Okabe)

Contexte : Le Soutènement face aux Séismes

Dans les régions à risque sismique, les ouvrages de soutènement ne doivent pas seulement résister au poids des terres, mais aussi aux forces d'inertie générées par les accélérations du sol lors d'un tremblement de terre. Ces forces supplémentaires peuvent augmenter de manière significative la poussée exercée sur le mur. La méthode de Mononobe-OkabeMéthode pseudo-statique pour calculer la poussée des terres en conditions sismiques. C'est une extension de la théorie de Coulomb qui inclut les forces d'inertie. (M-O) est une approche classique et largement utilisée pour évaluer cette poussée sismique. Elle étend la théorie de Coulomb en ajoutant des forces d'inertie horizontales et verticales au coin de sol qui pousse contre le mur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice montre comment un phénomène dynamique (un séisme) peut être analysé à l'aide d'une approche "pseudo-statique". Au lieu de modéliser les vibrations complexes, on représente l'effet du séisme par des forces d'inertie constantes, proportionnelles au poids du sol et aux accélérations sismiques. Cela permet un calcul direct de la poussée maximale probable durant le séisme.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le concept de forces d'inertie sismiques dans un massif de sol.
Définir et calculer le coefficient de poussée sismique active \(K_{AE}\).
Calculer la poussée totale (statique + dynamique) s'exerçant sur un mur de soutènement.
Déterminer le point d'application de la résultante de poussée sismique.
Analyser l'influence des coefficients sismiques sur l'augmentation des efforts.

Données de l'étude

On étudie un mur de soutènement poids de hauteur \(H = 8,0 \, \text{m}\). Le remblai derrière le mur est horizontal et le mur a un parement incliné côté remblai.

Schéma du Mur et des Forces Sismiques

Données géotechniques et géométriques :

Poids volumique du sol : \(\gamma = 19 \, \text{kN/m}^3\)
Angle de frottement interne : \(\phi' = 35^\circ\)
Angle de frottement mur-sol : \(\delta = 2/3 \phi' \approx 23.3^\circ\)
Inclinaison du parement du mur / verticale : \(\beta = 10^\circ\)
Inclinaison du remblai / horizontale : \(i = 0^\circ\)

Données sismiques :

Coefficient d'accélération horizontal : \(k_h = 0.20\)
Coefficient d'accélération vertical : \(k_v = 0.10\) (ascendant)

Questions à traiter

Calculer le coefficient de poussée sismique active \(K_{AE}\) selon la méthode de Mononobe-Okabe.
Calculer la poussée sismique totale \(P_{AE}\) s'exerçant sur le mur.
Décomposer la poussée totale en une composante statique \(P_A\) et une composante dynamique \(\Delta P_{AE}\), et estimer la hauteur d'application de la résultante totale \(P_{AE}\).

Correction : Calcul de la poussée des terres en conditions sismiques (méthode de Mononobe-Okabe)

Question 1 : Calcul du Coefficient de Poussée Sismique (\(K_{AE}\))

Principe :

La méthode de Mononobe-Okabe est une extension de la théorie de Coulomb. Elle consiste à trouver l'équilibre d'un coin de sol derrière le mur, mais en ajoutant des forces d'inertie (horizontale et verticale) qui représentent l'effet du séisme. Le coefficient \(K_{AE}\) qui en résulte intègre tous les paramètres : géométrie, frottements et séisme.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La formule de \(K_{AE}\) semble complexe, mais elle est simplement la traduction mathématique de cet équilibre des forces. L'introduction d'un "angle sismique" \(\theta\) permet de simplifier l'écriture en combinant les accélérations horizontale et verticale en une seule accélération résultante inclinée.

Formule(s) utilisée(s) :

\theta = \arctan\left(\frac{k_h}{1-k_v}\right)

K_{AE} = \frac{\cos^2(\phi' - \theta - \beta)}{\cos\theta \cos^2\beta \cos(\delta + \beta + \theta) \left[1 + \sqrt{\frac{\sin(\phi'+\delta)\sin(\phi'-\theta-i)}{\cos(\delta+\beta+\theta)\cos(i-\beta)}}\right]^2}

Donnée(s) :

\(\phi' = 35^\circ\), \(\delta = 23.3^\circ\), \(\beta = 10^\circ\), \(i = 0^\circ\)
\(k_h = 0.20\), \(k_v = 0.10\)

Calcul(s) :

1. Calculer l'angle d'inertie sismique \(\theta\).

\begin{aligned} \theta &= \arctan\left(\frac{0.20}{1-0.10}\right) \\ &= \arctan(0.222) \\ &\approx 12.53^\circ \end{aligned}

2. Calculer les termes intermédiaires de la formule de \(K_{AE}\).

\text{Numérateur} = \cos^2(35^\circ - 12.53^\circ - 10^\circ) = \cos^2(12.47^\circ) \approx 0.952

\text{Dénominateur (partie 1)} = \cos(12.53^\circ) \cos^2(10^\circ) \cos(23.3^\circ+10^\circ+12.53^\circ) \approx 0.659

\text{Dénominateur (racine)} = \sqrt{\frac{\sin(58.3^\circ)\sin(22.47^\circ)}{\cos(45.83^\circ)\cos(-10^\circ)}} \approx 0.688

3. Assembler les termes pour trouver \(K_{AE}\).

\begin{aligned} K_{AE} &= \frac{0.952}{0.659 \times [1 + 0.688]^2} \\ &= \frac{0.952}{0.659 \times 1.688^2} \\ &= \frac{0.952}{1.879} \\ &\approx 0.507 \end{aligned}

Résultat : Le coefficient de poussée sismique active est \(K_{AE} \approx 0.507\).

Question 2 : Calcul de la Poussée Sismique Totale (\(P_{AE}\))

Principe :

Une fois le coefficient \(K_{AE}\) déterminé, la poussée totale est calculée de manière similaire à la poussée statique de Coulomb. La force est proportionnelle au carré de la hauteur du mur et au poids volumique du sol. On utilise le terme \((1-k_v)\) pour tenir compte de la réduction (ou augmentation) du poids du sol due à l'accélération verticale.

Formule(s) utilisée(s) :

P_{AE} = \frac{1}{2} \gamma H^2 (1-k_v) K_{AE}

Donnée(s) :

\(\gamma = 19 \, \text{kN/m}^3\), \(H = 8 \, \text{m}\), \(k_v = 0.10\)
\(K_{AE} = 0.507\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} P_{AE} &= \frac{1}{2} \times 19 \times 8^2 \times (1 - 0.10) \times 0.507 \\ &= 0.5 \times 19 \times 64 \times 0.9 \times 0.507 \\ &= 277.6 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Résultat : La poussée sismique totale par mètre linéaire de mur est de \(P_{AE} \approx 278 \, \text{kN/m}\).

Question 3 : Décomposition et Point d'Application

Principe :

La poussée totale \(P_{AE}\) peut être vue comme la somme de la poussée statique \(P_A\) (qui existerait sans séisme) et d'une poussée purement dynamique \(\Delta P_{AE}\). La poussée statique s'applique à H/3 de la base, tandis que la poussée dynamique s'applique plus haut (souvent estimé à 0.6H). La position de la résultante totale \(P_{AE}\) sera donc plus haute que H/3, ce qui augmente le moment de renversement sur le mur.

Formule(s) utilisée(s) :

P_A = \frac{1}{2} \gamma H^2 K_A \quad (\text{avec } K_A \text{ statique})

\Delta P_{AE} = P_{AE} - P_A

h_{\text{res}} = \frac{P_A \times (H/3) + \Delta P_{AE} \times (0.6H)}{P_{AE}}

Calcul(s) :

1. Calculer le coefficient de poussée statique \(K_A\) (formule de M-O avec \(k_h=k_v=0\)).

K_A (\theta=0) = \frac{\cos^2(\phi' - \beta)}{\cos^2\beta \cos(\delta + \beta) \left[1 + \sqrt{\frac{\sin(\phi'+\delta)\sin(\phi')}{\cos(\delta+\beta)\cos(-\beta)}}\right]^2} \approx 0.267

2. Calculer la poussée statique \(P_A\).

P_A = \frac{1}{2} \times 19 \times 8^2 \times 0.267 = 162.5 \, \text{kN/m}

3. Calculer la poussée dynamique \(\Delta P_{AE}\).

\Delta P_{AE} = 277.6 - 162.5 = 115.1 \, \text{kN/m}

4. Calculer la hauteur d'application de la résultante.

\begin{aligned} h_{\text{res}} &= \frac{162.5 \times (8/3) + 115.1 \times (0.6 \times 8)}{277.6} \\ &= \frac{433.3 + 552.5}{277.6} \\ &= \frac{985.8}{277.6} \\ &\approx 3.55 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat : La poussée se décompose en \(P_A \approx 163 \, \text{kN/m}\) et \(\Delta P_{AE} \approx 115 \, \text{kN/m}\). La résultante totale s'applique à environ 3.55 m de la base (soit \(\approx 0.44H\)), ce qui est significativement plus haut que le tiers de la hauteur du cas statique.

Simulation : Impact de l'Accélération Sismique

Utilisez le curseur pour faire varier le coefficient d'accélération horizontal \(k_h\) et observez l'augmentation spectaculaire de la poussée totale sur le mur.

Paramètres Sismiques

Coefficient d'accélération horizontal (\(k_h\)) : 0.20

Poussée Statique (P_A) 162.5 kN/m

Poussée Sismique (P_AE)

Augmentation due au séisme

Comparaison Poussée Statique vs Sismique

Pour Aller Plus Loin : Liquéfaction et Pression Hydrodynamique

Au-delà de Mononobe-Okabe : La méthode M-O suppose que le sol reste drainé et ne perd pas sa résistance. Dans les sables lâches saturés d'eau, un séisme peut provoquer la liquéfactionPhénomène par lequel un sol saturé d'eau perd sa résistance et se comporte comme un liquide sous l'effet de secousses sismiques., où le sol se comporte comme un fluide lourd, augmentant drastiquement la poussée. De plus, si une nappe phréatique est présente, il faut ajouter à la poussée du sol la pression hydrodynamique de l'eau, qui ne se propage pas de la même manière que les ondes dans le sol.

Le Saviez-Vous ?

La méthode de Mononobe-Okabe a été développée au Japon dans les années 1920, suite au grand tremblement de terre de Kantō en 1923 qui a causé des dommages considérables aux ouvrages de soutènement. C'est l'un des premiers exemples d'ingénierie parasismique basée sur une analyse rationnelle plutôt que sur des règles purement empiriques.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la poussée sismique s'applique-t-elle plus haut que la poussée statique ?

La poussée statique est proportionnelle à la profondeur (diagramme triangulaire). Les forces d'inertie sismiques, elles, agissent sur chaque grain de sol sur toute la hauteur du coin de poussée. Leur effet est donc plus distribué en hauteur. La combinaison des deux (statique + dynamique) déplace mathématiquement le point d'application de la force résultante vers le haut.

La méthode est-elle toujours conservative (sécuritaire) ?

En général, oui, pour les cas où ses hypothèses sont valides (mur capable de se déplacer, pas de liquéfaction). Cependant, pour des murs très rigides ou bloqués qui ne peuvent pas se déplacer, la poussée sismique peut être encore plus élevée que celle prédite par Mononobe-Okabe. On parle alors de "poussée des terres au repos" en conditions sismiques.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'accélération sismique horizontale \(k_h\) augmente, la poussée totale sur le mur :

Augmente.
Diminue.
Reste constante.

2. Le point d'application de la poussée sismique totale \(P_{AE}\) se situe :

Plus bas que le point d'application de la poussée statique.
Plus haut que le point d'application de la poussée statique.
Au même endroit que le point d'application de la poussée statique.

Glossaire

Mononobe-Okabe (M-O): Méthode d'analyse pseudo-statique utilisée pour calculer les forces de poussée et de butée des terres sur les ouvrages de soutènement soumis à des charges sismiques.
Coefficient Sismique (\(k_h, k_v\)): Rapport adimensionnel entre l'accélération du sol due au séisme (horizontale ou verticale) et l'accélération de la pesanteur (g). Il quantifie l'intensité du séisme pour les calculs.
Poussée Sismique Active (\(P_{AE}\)): La force totale (statique + dynamique) exercée par le remblai sur le mur pendant un séisme, lorsque le mur peut se déplacer légèrement en s'éloignant du sol.
Liquéfaction: Phénomène par lequel un sol granulaire saturé d'eau perd temporairement toute sa résistance au cisaillement sous l'effet de secousses (comme un séisme) et se comporte comme un liquide.

D’autres exercices d’ouvrages de soutènement:

Poussée des terres en conditions sismiques

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Mur et des Forces Sismiques

Questions à traiter

Correction : Calcul de la poussée des terres en conditions sismiques (méthode de Mononobe-Okabe)

Question 1 : Calcul du Coefficient de Poussée Sismique (\(K_{AE}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Question 2 : Calcul de la Poussée Sismique Totale (\(P_{AE}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Question 3 : Décomposition et Point d'Application

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Simulation : Impact de l'Accélération Sismique

Paramètres Sismiques

Comparaison Poussée Statique vs Sismique

Pour Aller Plus Loin : Liquéfaction et Pression Hydrodynamique

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

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