Pré-dimensionnement d’un Soutènement de Galerie
Contexte : La Mécanique des Roches et le creusement de tunnels.
Le creusement d'une galerie souterraine modifie l'état de contrainte naturel du massif rocheuxEnsemble de la roche en place, avec ses discontinuités (fractures, failles) et ses caractéristiques mécaniques.. En l'absence de soutènement, les parois de la galerie tendent à se refermer sur elles-mêmes, un phénomène appelé convergenceDéplacement radial des parois d'une excavation vers l'intérieur, dû à la redistribution des contraintes après creusement.. Pour assurer la stabilité de l'ouvrage, on installe un soutènement (béton projeté, cintres métalliques...) qui exerce une pression de confinementPression exercée par le soutènement sur la roche pour s'opposer à la convergence et maintenir la stabilité de la galerie.. Cet exercice a pour but de vous initier à la méthode Convergence-Confinement pour pré-dimensionner ce soutènement.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes clés de l'analyse de la stabilité d'un tunnel circulaire en utilisant des solutions analytiques classiques, une compétence fondamentale pour tout ingénieur en géotechnique.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer la méthode Convergence-Confinement.
- Calculer la pression critique de soutènement et le rayon de la zone décomprimée (plastifiée).
- Déterminer la convergence de la galerie avec et sans soutènement.
- Effectuer un premier choix de soutènement sur la base des calculs.
Données de l'étude
Caractéristiques du Projet
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Profondeur de la galerie (H) | 600 m |
| Rayon de la galerie (a) | 4.0 m |
| Masse volumique de la roche (γ) | 25 kN/m³ |
Modèle de la galerie et contraintes initiales
| Propriété du Massif Rocheux | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Module d'Young | E | 5000 | MPa |
| Coefficient de Poisson | ν | 0.25 | - |
| Cohésion (critère de Mohr-Coulomb) | c | 3 | MPa |
| Angle de frottement interne | φ | 30 | degrés |
Questions à traiter
- Calculer la contrainte géostatique initiale \(\sigma_0\) au niveau de l'axe de la galerie.
- Déterminer la pression critique de soutènement \(p_{\text{cr}}\) en dessous de laquelle une zone plastifiée apparaît autour de la galerie.
- En supposant qu'aucun soutènement n'est posé (\(p_i=0\)), calculer le rayon de la zone plastifiée \(R_p\).
- Toujours sans soutènement, calculer la convergence radiale \(u_a\) au parement de la galerie.
- On souhaite limiter la convergence à 5 mm. Déterminer la pression de soutènement \(p_i\) requise.
Les bases : Méthode Convergence-Confinement
Cette méthode analyse l'interaction entre le massif rocheux qui converge et le soutènement qui s'y oppose (confinement). On trace deux courbes : la courbe caractéristique du massif (relation entre la pression interne \(p_i\) et la convergence \(u_a\)) et celle du soutènement (relation entre la déformation du soutènement et la pression qu'il applique).
1. Comportement Élasto-Plastique du Massif
Tant que la pression interne \(p_i\) est supérieure à une pression critique \(p_{\text{cr}}\), le massif se déforme élastiquement. Si \(p_i < p_{\text{cr}}\), une zone plastique se développe autour de la galerie. La pression critique est donnée par :
\[ p_{\text{cr}} = \sigma_0 \cdot (1 - \sin\phi) - c \cdot \cos\phi \]
2. Rayon de la Zone Plastique et Convergence
Le rayon de la zone plastique, \(R_p\), pour une pression de soutènement \(p_i\) est :
\[ R_p = a \cdot \left[ \frac{(\sigma_0 + c \cdot \cot\phi)(1-\sin\phi)}{ (p_i + c \cdot \cot\phi)(1+\sin\phi)} \right]^{\frac{1-\sin\phi}{2\sin\phi}} \]
La convergence radiale \(u_a\) à la paroi est :
\[ u_a = \frac{a \cdot (1+\nu)}{E} \cdot p_{\text{cr}} \cdot \left(\frac{R_p}{a}\right)^2 \]
Correction : Pré-dimensionnement d’un Soutènement de Galerie
Question 1 : Calculer la contrainte géostatique initiale \(\sigma_0\)
Principe
La contrainte géostatique à une certaine profondeur est principalement due au poids des terrains sus-jacents. Dans un champ de contraintes hydrostatique (ou isotrope), cette contrainte est la même dans toutes les directions. C'est le point de départ de toute analyse de stabilité souterraine.
Mini-Cours
La contrainte en un point d'un massif est un tenseur. Cependant, pour simplifier, on s'intéresse souvent aux contraintes principales. La contrainte verticale (\(\sigma_v\)) est directement liée au poids de la colonne de roche située au-dessus. Les contraintes horizontales (\(\sigma_h\)) dépendent des propriétés de la roche (coefficient de Poisson) et de son histoire tectonique. L'hypothèse d'un état hydrostatique (\(\sigma_v = \sigma_h = \sigma_0\)) est une simplification courante pour les calculs préliminaires à grande profondeur dans un massif homogène.
Remarque Pédagogique
C'est la toute première étape, absolument fondamentale. Une erreur sur l'évaluation des contraintes initiales se répercutera sur l'ensemble de vos calculs. Prenez toujours le temps de bien valider cette valeur.
Normes
Le calcul des contraintes initiales est un principe de base de la mécanique des sols et des roches, sur lequel s'appuient les normes de conception géotechnique comme l'Eurocode 7 (NF EN 1997). Ces normes n'indiquent pas la formule elle-même, mais exigent que l'état de contrainte initial soit déterminé de manière fiable pour les calculs de stabilité.
Formule(s)
Formule de la contrainte verticale
Hypothèses
Pour appliquer cette formule simple, on pose plusieurs hypothèses :
- Le massif rocheux est homogène, avec une masse volumique constante.
- La surface du sol est horizontale.
- Les contraintes sont dites "géostatiques", c'est-à-dire qu'elles ne sont dues qu'à la gravité.
Donnée(s)
On utilise les données de l'énoncé pour ce calcul.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids volumique de la roche | \(\gamma\) | 25 | kN/m³ |
| Profondeur | \(H\) | 600 | m |
Astuces
Faites attention aux unités ! Le poids volumique est souvent donné en kg/m³, il faut le convertir en poids volumique (en N/m³ ou kN/m³) en multipliant par l'accélération de la pesanteur (\(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\)). Ici, la valeur est déjà en kN/m³, le calcul est donc direct.
Schéma (Avant les calculs)
Colonne de roche au-dessus de la galerie
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la contrainte en kPa
Étape 2 : Conversion en MPa
Schéma (Après les calculs)
État de contrainte initial
Réflexions
Une contrainte de 15 MPa correspond à une pression d'environ 150 bar, soit l'équivalent de 150 kg appliqués sur une surface de 1 cm² (comme un ongle). C'est une contrainte significative qui explique pourquoi la roche peut se fracturer si elle n'est pas soutenue.
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre la contrainte totale (calculée ici) et la contrainte effective, qui tiendrait compte de la pression de l'eau dans les pores de la roche. Dans cet exercice, on suppose un massif sec ou on néglige l'effet de l'eau.
Points à retenir
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : La contrainte dans le sol augmente linéairement avec la profondeur.
- Formule Essentielle : \(\sigma_0 = \gamma \cdot H\).
- Point de Vigilance Majeur : La cohérence des unités (kN, m, kPa, MPa).
Le saviez-vous ?
Le concept de contrainte effective, fondamental en géotechnique, a été introduit par Karl von Terzaghi en 1923. Il a démontré que c'est la contrainte supportée par le squelette solide de la roche (et non la contrainte totale) qui gouverne sa résistance et sa déformation.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la galerie était creusée à une profondeur de 800 m dans le même massif, quelle serait la nouvelle contrainte initiale \(\sigma_0\) ?
Question 2 : Déterminer la pression critique \(p_{\text{cr}}\)
Principe
La pression critique \(p_{\text{cr}}\) est la pression de soutènement minimale à appliquer à la paroi de la galerie pour empêcher la roche de dépasser sa limite de résistance élastique. Si la pression de confinement est inférieure à \(p_{\text{cr}}\), la roche entre en "plasticité" : elle se déforme de manière irréversible et perd une partie de sa résistance.
Mini-Cours
Le critère de rupture de Mohr-Coulomb est l'un des plus utilisés en mécanique des roches. Il stipule qu'un matériau se rompt lorsque la contrainte de cisaillement sur un plan atteint une valeur limite qui dépend de la contrainte normale sur ce même plan, de la cohésion (c) et de l'angle de frottement interne (\(\phi\)) du matériau. La formule de \(p_{\text{cr}}\) est la traduction de ce critère pour le cas particulier d'une cavité cylindrique.
Remarque Pédagogique
La valeur de \(p_{\text{cr}}\) est cruciale. Elle vous indique si un soutènement est absolument nécessaire. Si \(p_{\text{cr}}\) est négatif, cela signifie que la roche est intrinsèquement stable et ne développera pas de zone plastique même sans soutènement. Si \(p_{\text{cr}}\) est positif (comme ici), un soutènement est indispensable pour éviter la rupture.
Normes
L'utilisation de critères de rupture reconnus comme celui de Mohr-Coulomb ou de Hoek-Brown est une exigence de l'Eurocode 7 pour justifier la stabilité des ouvrages souterrains. Le choix du critère dépend de la nature du massif rocheux (roche intacte vs massif fracturé).
Formule(s)
Formule de la pression critique
Hypothèses
Ce calcul suppose que :
- Le comportement de la roche est parfaitement décrit par le critère de Mohr-Coulomb.
- Le massif est un milieu continu, homogène et isotrope.
- La rupture se produit lorsque la combinaison des contraintes au parement de la galerie atteint la limite définie par le critère.
Donnée(s)
On utilise les données de l'énoncé et le résultat de la question précédente.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Contrainte initiale | \(\sigma_0\) | 15 | MPa |
| Cohésion | \(c\) | 3 | MPa |
| Angle de frottement | \(\phi\) | 30 | degrés |
Astuces
Pour les angles de frottement courants comme 30°, mémoriser les valeurs de sinus (0.5) et cosinus (\(\sqrt{3}/2 \approx 0.866\)) peut faire gagner du temps et permettre de faire une estimation rapide sans calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Critère de Mohr-Coulomb et Cercle de Mohr à la rupture
Calcul(s)
Calcul de sin(30°)
Calcul de cos(30°)
Application de la formule de p_cr
Schéma (Après les calculs)
État de contrainte à la paroi pour p_i = p_cr
Réflexions
Un résultat de \(p_{\text{cr}} \approx 4.9\) MPa signifie que si la pression exercée par le soutènement est inférieure à cette valeur, la roche à la paroi de la galerie va commencer à se rompre et à se déformer plastiquement. Le soutènement doit donc être dimensionné pour fournir au minimum cette pression (en pratique, on applique un facteur de sécurité).
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" pour le calcul des fonctions trigonométriques. Une erreur fréquente est d'utiliser des radians, ce qui fausse complètement le résultat. De plus, vérifiez que la cohésion et la contrainte initiale sont dans la même unité (ici, le MPa).
Points à retenir
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : La pression critique est le seuil entre le comportement élastique et plastique de la roche.
- Formule Essentielle : \(p_{\text{cr}} = \sigma_0(1 - \sin\phi) - c \cos\phi\).
- Point de Vigilance Majeur : Le mode (degrés/radians) de la calculatrice.
Le saviez-vous ?
Le critère de Mohr-Coulomb, bien que très utilisé pour sa simplicité, n'est pas toujours adapté aux massifs rocheux très fracturés ou aux roches de très haute résistance. D'autres critères plus complexes, comme celui de Hoek-Brown, ont été développés pour mieux représenter le comportement de ces massifs.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si des reconnaissances géologiques plus fines montraient que la cohésion réelle de la roche est de 5 MPa, quelle serait la nouvelle pression critique \(p_{\text{cr}}\) ?
Question 3 : Calculer le rayon de la zone plastifiée \(R_p\) sans soutènement (\(p_i=0\))
Principe
Lorsque la galerie est creusée sans aucun soutènement, la pression interne est nulle (\(p_i = 0\)). Comme \(p_i=0\) est bien inférieur à \(p_{\text{cr}}=4.9\) MPa, une zone plastique se développe inévitablement. Le rayon de cette zone, \(R_p\), représente l'extension de la "bulle" de roche endommagée autour de la galerie.
Mini-Cours
Autour de la galerie, deux zones coexistent : une zone plastique (de rayon \(a\) à \(R_p\)) où la roche a rompu, et une zone élastique (de \(R_p\) à l'infini) où la roche se déforme réversiblement. La valeur de \(R_p\) est déterminée par la condition d'équilibre à l'interface entre ces deux zones. La contrainte radiale à cette interface doit être égale à la pression critique \(p_{\text{cr}}\).
Remarque Pédagogique
Calculer \(R_p\) pour le cas sans soutènement est un excellent moyen d'évaluer la stabilité intrinsèque de la galerie. Un grand rayon plastique indique un massif de mauvaise qualité ou des contraintes très élevées, nécessitant un soutènement lourd. Un rayon plastique faible (\(R_p\) proche de \(a\)) indique des conditions plus favorables.
Normes
Il n'y a pas de norme fixant une valeur limite pour \(R_p\), mais son calcul fait partie intégrante des méthodes de justification de la stabilité requises par les règlements de conception. Le dimensionnement final du soutènement devra garantir que l'extension de cette zone reste contrôlée.
Formule(s)
Formule du rayon de la zone plastique
Hypothèses
En plus des hypothèses précédentes, on suppose que :
- La roche dans la zone plastique a un comportement parfaitement plastique (elle conserve une résistance résiduelle).
- La zone plastifiée se développe de manière axisymétrique autour de la galerie.
Donnée(s)
On utilise les données connues et on calcule \(\cot\phi\).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon de la galerie | \(a\) | 4.0 | m |
| Contrainte initiale | \(\sigma_0\) | 15 | MPa |
| Cohésion | \(c\) | 3 | MPa |
| Angle de frottement | \(\phi\) | 30 | degrés |
Astuces
L'exposant de la formule, \(\frac{1-\sin\phi}{2\sin\phi}\), peut paraître complexe. Notez qu'il est directement lié au coefficient de poussée des terres \(K_p = \frac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}\). L'exposant est égal à \(1 / (K_p - 1)\). Pour \(\phi=30^\circ\), \(K_p=3\) et l'exposant vaut \(1/2\) (racine carrée), ce qui simplifie le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Zones de comportement autour de la galerie
Calcul(s)
Calcul de cot(30°)
Calcul du terme c * cot(phi)
Calcul du terme au numérateur
Calcul des termes en sinus
Calcul de l'exposant
Calcul final de R_p
Schéma (Après les calculs)
Extension de la zone plastifiée
Réflexions
Le rayon de la zone plastifiée (4.55 m) est supérieur au rayon de la galerie (4.0 m). Cela signifie que la roche est endommagée sur une épaisseur de \(R_p - a = 0.55\) m autour de l'excavation. C'est dans cette zone que des instabilités (chutes de blocs) sont les plus probables et où le soutènement sera le plus sollicité.
Points de vigilance
La formule de \(R_p\) est très sensible aux valeurs de \(c\) et \(\phi\). Une petite incertitude sur ces paramètres géotechniques peut entraîner une grande variation sur le rayon calculé. C'est pourquoi on réalise souvent des analyses de sensibilité en faisant varier ces paramètres dans une plage de valeurs plausibles.
Points à retenir
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Sans soutènement suffisant, une zone de roche plastifiée se développe autour de la galerie.
- Formule Essentielle : La formule de Salençon pour \(R_p\).
- Point de Vigilance Majeur : La sensibilité du résultat aux paramètres de résistance de la roche.
Le saviez-vous ?
Pour analyser des cas plus complexes (géométrie non circulaire, massif non homogène, comportement de la roche plus réaliste), les ingénieurs utilisent des logiciels de calcul numérique par éléments finis ou différences finies (comme FLAC3D, Plaxis, ZSoil). Ces outils résolvent les équations de la mécanique de manière discrétisée et permettent de visualiser les zones plastiques en 2D ou 3D.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la contrainte initiale \(\sigma_0\) était de 20 MPa au lieu de 15 MPa, quel serait le nouveau rayon de la zone plastifiée \(R_p\) ?
Question 4 : Calculer la convergence radiale \(u_a\) sans soutènement
Principe
La convergence est le déplacement radial de la paroi de la galerie. Puisqu'une zone plastique s'est développée, la convergence est plus importante que si le comportement était resté purement élastique. Elle est directement liée à l'extension de la zone plastique et aux propriétés de déformabilité de la roche (Module d'Young E).
Mini-Cours
La déformation totale (\(u_a\)) est la somme d'une déformation élastique et d'une déformation plastique. La formule utilisée calcule cette convergence totale à la paroi en se basant sur la déformation élastique qui aurait lieu à la frontière entre la zone élastique et la zone plastique (au rayon \(R_p\)), puis en la propageant jusqu'à la paroi de la galerie (rayon \(a\)). Le terme (\(\sigma_0(1-\sin\phi) - c \cdot \cos\phi\)) est en fait égal à \(p_{\text{cr}}\).
Remarque Pédagogique
La convergence est une donnée de sortie du calcul très concrète. C'est une valeur que l'on peut mesurer sur le terrain avec des instruments (convergencemètres, extensomètres) pour valider les modèles de calcul. C'est aussi un critère de dimensionnement : le soutènement doit être capable d'accommoder cette déformation sans se rompre.
Normes
Les normes de construction de tunnels et d'ouvrages souterrains peuvent imposer des limites de convergence admissibles pour garantir l'intégrité du revêtement final ou la fonctionnalité de l'ouvrage (par exemple, pour assurer le gabarit de passage des trains).
Formule(s)
Formule de la convergence
Hypothèses
Ce calcul suppose que les propriétés de déformabilité (Module d'Young E, coefficient de Poisson \(\nu\)) sont constantes et identiques dans les zones élastique et plastique, ce qui est une simplification.
Donnée(s)
On rassemble toutes les données nécessaires, y compris les résultats des questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon de la galerie | \(a\) | 4.0 | m |
| Module d'Young | \(E\) | 5000 | MPa |
| Coeff. de Poisson | \(\nu\) | 0.25 | - |
| Rayon plastique | \(R_p\) | 4.55 | m |
| Pression critique | \(p_{\text{cr}}\) | 4.9 | MPa |
Astuces
Avant le calcul, vérifiez les ordres de grandeur. Pour un tunnel, on s'attend à des convergences de quelques millimètres à quelques centimètres. Un résultat en mètres ou en micromètres est probablement le signe d'une erreur d'unité. Assurez-vous que E est en MPa si les autres contraintes le sont aussi.
Schéma (Avant les calculs)
Illustration de la convergence radiale
Calcul(s)
Application de la formule de convergence
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la convergence finale
Réflexions
Une convergence de 6.34 mm est une valeur relativement faible, indiquant que le massif rocheux, bien que plastifié, a un comportement assez stable. Cependant, même de faibles convergences peuvent endommager des revêtements fragiles ou des équipements sensibles. Le choix du soutènement dépendra de la tolérance de l'ouvrage à de tels déplacements.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est l'incohérence des unités. Ici, le rayon \(a\) est en mètres, mais le Module d'Young E est en MPa (soit \(MN/m^2\)) et \(p_{\text{cr}}\) aussi. Le calcul \(a/E\) donne donc un résultat en \(m/(MN/m^2) = m^3/MN\). Multiplié par \(p_{\text{cr}}\) (en \(MN/m^2\)), on obtient bien un résultat final en mètres. Il faut être rigoureux !
Points à retenir
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : La convergence dépend de la déformabilité du massif (E, ν) et de l'étendue de la zone plastique (\(R_p\)).
- Formule Essentielle : La formule liant \(u_a\) et \(R_p\).
- Point de Vigilance Majeur : La gestion des unités entre les longueurs (m) et les contraintes/modules (MPa).
Le saviez-vous ?
Dans les tunnels réels, la convergence n'est pas instantanée. Elle se développe au fur et à mesure que le front de taille s'éloigne. C'est le "comportement différé" de la roche. La méthode Convergence-Confinement prend en compte cet "effet 3D" en considérant que le soutènement n'est pas posé juste sur le front, mais à une certaine distance, et qu'il subit donc seulement une partie de la convergence totale.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le Module d'Young de la roche était plus faible, par exemple E = 2500 MPa (roche plus déformable), quelle serait la nouvelle convergence \(u_a\) (en considérant le même \(R_p\) de 4.55 m) ?
Question 5 : Déterminer la pression de soutènement \(p_i\) pour limiter la convergence à 5 mm
Principe
Cette question est le cœur du travail de l'ingénieur : le dimensionnement. On ne subit plus le comportement du terrain, on le maîtrise. On fixe une déformation admissible (une convergence maximale) et on calcule l'effort (la pression de soutènement) nécessaire pour ne pas dépasser ce seuil.
Mini-Cours
C'est l'application inverse de la méthode. La démarche est la suivante : 1) La convergence admissible \(u_a\) permet de calculer un rayon de la zone plastique \(R_p\) maximal à ne pas dépasser. 2) Ce rayon plastique \(R_p\) maximal est ensuite utilisé dans la formule de Salençon pour trouver la pression de soutènement \(p_i\) minimale à appliquer pour garantir que la zone plastique ne s'étendra pas au-delà de cette limite.
Remarque Pédagogique
Attention, la question initiale de l'énoncé demandait de limiter la convergence à 20 mm. Comme nous l'avons vu, la convergence maximale possible (sans aucun soutènement) n'est que de 6.34 mm. Demander une convergence de 20 mm est donc une impossibilité physique dans ce contexte. Nous avons corrigé l'énoncé pour une valeur réaliste de 5 mm, qui est bien inférieure à la convergence maximale.
Formule(s)
Formule inverse du rayon plastique
Formule inverse de la pression de soutènement
Hypothèses
On suppose que le soutènement est capable de fournir cette pression de manière uniforme et constante. On suppose également qu'il est mis en place suffisamment tôt pour limiter la convergence à la valeur souhaitée.
Donnée(s)
On rassemble toutes les données du problème, y compris la convergence admissible.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Convergence admissible | \(u_a\) | 5 | mm |
| Rayon de la galerie | \(a\) | 4.0 | m |
| Module d'Young | \(E\) | 5000 | MPa |
| Coeff. de Poisson | \(\nu\) | 0.25 | - |
| Pression critique | \(p_{\text{cr}}\) | 4.9 | MPa |
| Contrainte initiale | \(\sigma_0\) | 15 | MPa |
| Cohésion | \(c\) | 3 | MPa |
| Angle de frottement | \(\phi\) | 30 | degrés |
Astuces
Lors de la résolution de problèmes inverses, il est toujours bon de garder un œil sur le sens physique. Si vous trouvez une pression négative, ou un rayon plastique plus petit que le rayon de la galerie, c'est qu'il y a une incohérence soit dans vos calculs, soit dans les données de départ (comme c'était le cas avec les 20 mm initiaux).
Schéma (Avant les calculs)
Confinement de la galerie
Calcul(s) - Correction avec \(u_a = 5\) mm
Étape 1 : Calcul du rapport des rayons (Rp/a)
Étape 2 : Calcul de la pression de soutènement \(p_i\)
Calcul de l'exposant
Application de la formule de p_i
Schéma (Après les calculs)
Courbe Convergence-Confinement
Réflexions
Le calcul montre qu'une pression de soutènement de 1.4 MPa est nécessaire. Cette valeur peut ensuite être utilisée pour dimensionner un soutènement concret. Par exemple, on peut calculer l'épaisseur d'un anneau de béton projeté capable de fournir cette pression de confinement. Le soutènement doit être à la fois assez résistant (pour fournir 1.4 MPa) et assez déformable (pour suivre une convergence de 5 mm sans rompre).
Points de vigilance
La formule de \(p_i\) est complexe et il est facile de faire une erreur de calcul. Décomposez bien les étapes comme nous l'avons fait. Le plus grand piège reste conceptuel : comprendre pourquoi on ne peut pas demander une convergence supérieure à celle du cas non soutenu.
Points à retenir
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Le dimensionnement consiste à inverser le problème : on part d'une déformation admissible pour trouver la pression requise.
- Démarche : \(u_a \rightarrow R_p \rightarrow p_i\).
- Point de Vigilance Majeur : Toujours vérifier la faisabilité physique de la convergence demandée.
Le saviez-vous ?
Les soutènements peuvent être "passifs" (comme le béton projeté, qui n'agit qu'en se déformant sous la poussée du terrain) ou "actifs" (comme les boulons d'ancrage précontraints, qui appliquent une force de confinement à la roche dès leur installation, avant même qu'elle ne se déforme beaucoup).
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle pression \(p_i\) faudrait-il pour limiter la convergence à seulement 2 mm ? (Indice : recalculez d'abord le \(R_p\) correspondant).
Outil Interactif : Simulateur Convergence-Confinement
Utilisez les curseurs pour faire varier les propriétés de la roche et observez leur influence sur le rayon de la zone plastifiée et la convergence de la galerie (sans soutènement).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (sans soutènement)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que représente la pression critique \(p_{\text{cr}}\) ?
2. Si la cohésion (c) du massif rocheux augmente, comment évolue le rayon de la zone plastifiée (\(R_p\)) ?
3. La méthode Convergence-Confinement est principalement utilisée pour :
4. Un comportement purement élastique du massif autour de la galerie signifie que :
5. Que se passe-t-il si on creuse une galerie à plus grande profondeur (H augmente) ?
- Convergence
- Déplacement radial des parois d'une excavation (galerie) vers l'intérieur, résultant de la redistribution des contraintes après le creusement.
- Pression de Confinement
- Pression exercée par le soutènement sur la roche pour s'opposer à la convergence et maintenir la stabilité.
- Zone Plastique (ou décomprimée)
- Zone autour de la galerie où la roche a dépassé sa limite de résistance élastique et subit des déformations irréversibles.
- Critère de Mohr-Coulomb
- Modèle mathématique décrivant la résistance d'un matériau à la rupture sous l'effet de contraintes de cisaillement et de compression. Il est défini par la cohésion (c) et l'angle de frottement interne (φ).
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