Réduction de Tassement d'un Radier par Pieux

Contexte : Construction d'un immeuble de grande hauteur sur sol compressibleUn sol (souvent argileux) qui se déforme significativement sous l'effet d'une charge, entraînant des tassements..

Vous êtes ingénieur géotechnicien chargé de la conception des fondations d'un nouvel immeuble résidentiel. Une étude préliminaire montre qu'un radier simple (fondation superficielle) entraînerait des tassements excessifs pour la structure. Pour remédier à cela, vous envisagez d'ajouter des pieux sous le radier, non pas pour reprendre toute la charge, mais pour agir comme des "réducteurs de tassement".

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le concept de "Radier sur Pieux" (Piled Raft). Contrairement à une fondation profonde classique où les pieux portent tout, ici le radier et les pieux travaillent ensemble. L'objectif est d'optimiser le nombre de pieux pour respecter les critères de tassement.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la contrainte moyenne appliquée par un radier au sol.
Estimer le tassement d'un radier seul sur un sol élastique.
Comprendre le principe de partage de charge entre le radier et les pieux.
Calculer le tassement final d'un radier sur pieux (système mixte).

Données de l'étude

Le projet consiste en un radier carré reposant sur une couche d'argile profonde homogène.

Géométrie et Charges

Caractéristique	Valeur
Largeur du radier (B)	12 m
Longueur du radier (L)	12 m
Charge Totale de l'immeuble (Q)	40 MN (40 000 kN)

Modélisation du Problème (Coupe Transversale)

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\( E_{\text{s}} \)	Module de Young du sol	15	MPa
ν (nu)	Coefficient de Poisson du sol	0.3	-
\( I_{\text{s}} \)	Facteur de forme (centre du radier)	1.12	-
\( n_{\text{p}} \)	Nombre de pieux prévus	25	-

Questions à traiter

Calculer la contrainte verticale uniforme (q) appliquée par le radier au sol.
Calculer le tassement du radier seul (\( S_0 \)) sans aucun pieu.
Estimer le facteur de réduction de tassement (ξ) dû aux pieux.
Calculer le tassement final du radier sur pieux (\( S_{\text{pr}} \)).
Conclure sur l'efficacité du système si le tassement admissible est de 5 cm.

Les bases sur les Fondations Mixtes

L'interaction sol-structure pour un radier sur pieux est complexe. Voici les concepts simplifiés pour cet exercice.

1. Tassement Élastique d'un Radier Seul
Pour un radier souple sur un demi-espace élastique, le tassement au centre est donné par la formule de Schleicher : \[ S_0 = q \cdot B \cdot \frac{1 - \nu^2}{E_{\text{s}}} \cdot I_{\text{s}} \] Où \(q\) est la contrainte, \(B\) la largeur, \( E_{\text{s}} \) le module du sol et \( I_{\text{s}} \) le facteur d'influence.

2. Réduction par les Pieux (Approche Simplifiée)
L'ajout de pieux raidit le système. On peut estimer le tassement du radier sur pieux (\( S_{\text{pr}} \)) à partir du tassement du radier seul (\(S_0\)) via un coefficient de réduction \(\xi\) (xi) : \[ S_{\text{pr}} = \xi \cdot S_0 \] Ce coefficient dépend du nombre de pieux et de leur disposition.

Correction : Réduction de Tassement d'un Radier par Pieux

Question 1 : Calcul de la contrainte verticale (q)

Principe

La première étape est de déterminer quelle pression le bâtiment exerce sur le sol via la surface du radier. C'est simplement la charge totale divisée par l'aire de la fondation. Cette pression est appelée contrainte de contact.

Mini-Cours

La contrainte (\(q\)) représente une force appliquée par unité de surface. Dans le Système International, elle s'exprime en Pascals (Pa) ou en Multiples (kPa, MPa). Pour les fondations, on utilise souvent le kPa (kN/m²). Rappel : 1 MN = 1000 kN.

Remarque Pédagogique

On suppose ici que la charge est répartie uniformément sous le radier (radier rigide sur sol souple). En réalité, la distribution des contraintes peut varier entre le centre et les bords, mais l'hypothèse uniforme est suffisante pour une première estimation.

Normes

Selon l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique), on distingue les charges permanentes (G) et variables (Q). Ici, la charge de 40 MN est considérée comme une charge de service (ELS) pour le calcul des tassements.

Formule(s)

q = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{B \times L}

Hypothèses

Le radier est considéré comme infiniment rigide pour la transmission de la charge globale. La charge est centrée.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Q	40 MN = 40 000 kN
Dimensions	12 m x 12 m

Astuces

Pour vérifier votre ordre de grandeur : une maison individuelle exerce environ 50 à 100 kPa. Un immeuble de grande hauteur peut dépasser 300-500 kPa. Si vous trouvez 10 kPa ou 10 000 kPa, il y a probablement une erreur !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons la répartition de la charge sur la surface au sol.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la surface du radier

Tout d'abord, nous devons déterminer la surface de contact du radier sur le sol.

\begin{aligned} A &= 12 \times 12 \\ &= 144 \text{ m}^2 \end{aligned}

Cette surface de 144 m² est celle sur laquelle la charge totale va se répartir.

Étape 2 : Division de la charge par la surface

Ensuite, nous appliquons la formule de la contrainte moyenne en divisant la charge par cette surface.

\begin{aligned} q &= \frac{40 \text{ MN}}{144 \text{ m}^2} \\ &\approx 0.2778 \text{ MN/m}^2 \end{aligned}

Nous obtenons une valeur en Méganewtons par mètre carré (MN/m²), ce qui équivaut à des Mégapascals (MPa).

Étape 3 : Conversion en kPa

Pour se conformer aux usages géotechniques, convertissons cette valeur en kilopascals (kPa).

\begin{aligned} 0.2778 \text{ MPa} &= 0.2778 \times 1000 \text{ kPa} \\ &= 277.8 \text{ kPa} \end{aligned}

C'est cette valeur de 277.8 kPa que nous utiliserons pour les calculs de tassement.

Réflexions

Une contrainte de près de 280 kPa est relativement élevée pour un sol compressible classique. Cela laisse présager des tassements importants si le sol n'est pas très raide.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est la conversion d'unités. N'oubliez pas : 1 MN = 1000 kN. 1 MN/m² = 1 MPa = 1000 kPa.

Points à retenir

La formule \(q = Q/A\) est la base de tout dimensionnement géotechnique superficiel.

Le saviez-vous ?

Le mot "radier" vient de l'ancien français "rade", désignant une poutre ou un assemblage de poutres. Il était historiquement utilisé pour les planchers de cales sèches dans les ports.

FAQ

Questions fréquentes sur le calcul de contrainte.

Résultat Final

La contrainte appliquée au sol est de 277.8 kPa.

A vous de jouer

Si la charge passait à 50 MN, quelle serait la nouvelle contrainte en kPa ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

Calcul de charge répartie.
Formule : \(q = Q / (B \times L)\).
Unité : 1 kPa = 1 kN/m².

Question 2 : Calcul du tassement du radier seul (S₀)

Principe

On suppose ici que le sol se comporte comme un milieu élastique linéaire. Nous allons calculer de combien le radier s'enfoncerait s'il n'y avait pas de pieux, en utilisant la théorie de l'élasticité.

Mini-Cours

Le tassement élastique (ou immédiat) se produit dès l'application de la charge. Dans les argiles, il est suivi d'un tassement de consolidation (long terme) dû à l'évacuation de l'eau. La formule utilisée ici (Schleicher) estime le tassement élastique total en considérant un module de déformation équivalent \( E_{\text{s}} \).

Remarque Pédagogique

Le tassement n'est pas uniforme : il est maximal au centre d'un radier souple. C'est pourquoi nous utilisons le facteur de forme \( I_{\text{s}} \) correspondant au centre (1.12).

Normes

Les Eurocodes imposent de vérifier que le tassement final reste inférieur à des valeurs limites (souvent 5 à 10 cm pour un radier) pour ne pas endommager la structure.

Formule(s)

S_0 = q \cdot B \cdot \frac{1 - \nu^2}{E_{\text{s}}} \cdot I_{\text{s}}

Hypothèses

Sol homogène, isotrope, semi-infini. Comportement linéaire élastique. Radier souple.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur
Contrainte	q	0.2778 MPa
Module Young	\( E_{\text{s}} \)	15 MPa
Poisson	ν	0.3
Facteur forme	\( I_{\text{s}} \)	1.12

Astuces

Si vous obtenez un tassement de plusieurs mètres, vérifiez vos unités ! Les tassements usuels sont en centimètres (0.01 m à 0.15 m).

Calcul(s)

Étape 1 : Vérification des unités

Avant de commencer, listons les valeurs dans un système d'unités cohérent (MN et m) pour éviter les erreurs de puissance de 10.

\begin{aligned} q &= 0.2778 \text{ MPa} \\ E_{\text{s}} &= 15 \text{ MPa} \end{aligned}

Les unités sont homogènes, nous pouvons procéder.

Étape 2 : Calcul du terme de Poisson

Calculons d'abord le terme lié au coefficient de Poisson, qui représente la déformation latérale du sol.

\begin{aligned} 1 - \nu^2 &= 1 - (0.3)^2 \\ &= 1 - 0.09 \\ &= 0.91 \end{aligned}

Le facteur \(1 - \nu^2\) est toujours inférieur à 1, réduisant légèrement l'effet de la charge.

Étape 3 : Calcul du terme de rigidité du sol

Intégrons maintenant la rigidité du sol (\( E_{\text{s}} \)).

\begin{aligned} \frac{1 - \nu^2}{E_{\text{s}}} &= \frac{0.91}{15} \\ &\approx 0.06067 \text{ m/MN} \end{aligned}

Ce terme représente la 'souplesse' du sol : plus il est grand, plus le sol est mou.

Étape 4 : Assemblage de la formule

Nous pouvons maintenant assembler tous les termes dans la formule de Schleicher.

\begin{aligned} S_0 &= q \times B \times \text{Terme Sol} \times I_{\text{s}} \\ &= 0.2778 \times 12 \times 0.06067 \times 1.12 \end{aligned}

Étape 5 : Résultat numérique

Effectuons le produit des quatre termes.

\begin{aligned} S_0 &= 3.3336 \times 0.06067 \times 1.12 \\ &\approx 0.226 \text{ m} \end{aligned}

Le résultat brut est en mètres.

Convertissons en centimètres pour une interprétation plus physique.

\begin{aligned} S_0 &= 0.226 \text{ m} \times 100 \\ &= 22.6 \text{ cm} \end{aligned}

Ce résultat théorique est très élevé pour une structure standard.

Schéma (Après les calculs)

Illustration du phénomène de "cuvette" de tassement sous le radier.

Réflexions

Un tassement de 22.6 cm est très important. Pour la plupart des bâtiments, la limite est autour de 5 cm. Sans renforcement, le projet n'est pas viable.

Points de vigilance

Attention au terme \((1-\nu^2)\). N'oubliez pas le carré sur le coefficient de Poisson !

Points à retenir

Le tassement est proportionnel à la charge et inversement proportionnel à la rigidité du sol (Es).

Le saviez-vous ?

La Tour de Pise a subi des tassements différentiels de plus de 2 mètres d'un côté ! Ici, nous calculons un tassement moyen, mais le basculement est un risque majeur.

FAQ

Questions fréquentes sur le tassement.

Résultat Final

Le tassement du radier seul est estimé à 22.6 cm.

A vous de jouer

Si le sol était deux fois plus rigide (E = 30 MPa), quel serait le tassement en cm ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

Tassement élastique.
Formule de Schleicher.
Influence majeure du module \( E_{\text{s}} \).

Question 3 : Estimation du facteur de réduction (ξ)

Principe

L'ajout de pieux rigidifie la fondation. Plutôt que de recalculer tout le système complexe, on utilise une méthode empirique ou semi-empirique qui définit un "facteur d'efficacité" \(\xi\) (xi). Ce facteur quantifie de combien les pieux réduisent le tassement du radier seul.

Mini-Cours

Dans un radier sur pieux (Piled Raft), la charge est partagée. Les pieux agissent comme des ressorts rigides qui "attirent" la charge, soulageant le sol sous le radier. Plus il y a de pieux, plus le tassement diminue, mais l'efficacité marginale de chaque pieu ajouté décroît.

Remarque Pédagogique

La formule utilisée ici est une approximation issue des abaques de Poulos & Davis (1980) pour des configurations standard. Elle montre que l'efficacité dépend du nombre de pieux et de leur espacement relatif.

Normes

Cette approche simplifiée est utile en pré-dimensionnement. Pour un projet d'exécution, la norme recommande des modélisations par éléments finis 3D.

Formule(s)

\xi = 1 - 0.6 \times \left( \frac{n_{\text{p}}}{n_{\text{p}} + 10} \right)

Où \( n_{\text{p}} \) est le nombre de pieux. Cette formule est spécifique à cet exercice pour modéliser la courbe de réduction.

Hypothèses

Répartition régulière des pieux sous le radier. Les pieux sont flottants (frottement latéral dominant).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Nombre de pieux (\( n_{\text{p}} \))	25

Astuces

Vérifiez toujours que \(\xi\) est compris entre 0 et 1. Si \(\xi > 1\), cela signifierait que les pieux augmentent le tassement (impossible !). Si \(\xi < 0\), le radier s'envolerait !

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution

Utilisons la formule empirique donnée. Remplaçons \( n_{\text{p}} \) par le nombre de pieux prévu (25).

\xi = 1 - 0.6 \times \left( \frac{25}{25 + 10} \right)

La formule est prête à être calculée.

Étape 2 : Calcul de la fraction

Commençons par calculer le ratio à l'intérieur de la parenthèse.

\begin{aligned} \frac{25}{35} &\approx 0.714 \end{aligned}

Ce ratio (environ 0.71) représente la proportion de la 'saturation' de l'effet de groupe.

Étape 3 : Multiplication par 0.6

Pondérons ce ratio par le coefficient 0.6.

\begin{aligned} 0.6 \times 0.714 &\approx 0.428 \end{aligned}

Ce terme (0.428) représente la part de tassement 'économisée' grâce aux pieux.

Étape 4 : Soustraction

Enfin, soustrayons ce gain de 1 pour obtenir le facteur de tassement résiduel.

\begin{aligned} \xi &= 1 - 0.428 \\ &= 0.572 \end{aligned}

Ce coefficient \(\xi\) signifie que le tassement final ne sera que de 57.2% du tassement initial.

Réflexions

Un facteur de 0.572 signifie que le tassement sera réduit à 57.2% de sa valeur initiale. C'est une réduction significative, presque de moitié.

Points de vigilance

Ne confondez pas le facteur de réduction (ce qu'il reste) avec le pourcentage de réduction (ce qu'on a gagné). Ici, on a gagné 42.8%.

Points à retenir

L'efficacité des pieux n'est pas linéaire. Ajouter 10 pieux quand on en a déjà 100 apporte peu de gain supplémentaire.

Le saviez-vous ?

La tour Burj Khalifa à Dubaï repose sur un radier sur pieux. Les pieux ont permis de maîtriser les tassements dans un sol calcaire fracturé.

FAQ

Questions sur le facteur de réduction.

Résultat Final

Le facteur de réduction est de 0.572.

A vous de jouer

Calculez le facteur xi si on utilisait 10 pieux seulement.

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Interaction sol-pieux-radier.
Facteur de réduction \(\xi\).
Loi des rendements décroissants avec le nombre de pieux.

Question 4 : Calcul du tassement final (Spr)

Principe

C'est l'étape de synthèse. Nous appliquons le facteur de réduction calculé précédemment au tassement du radier seul pour obtenir le tassement prévisionnel du système mixte.

Mini-Cours

Le principe de superposition s'applique ici : Tassement Final = Tassement Initial × Facteur d'Atténuation. C'est une méthode simple mais puissante pour estimer l'impact d'une amélioration de sol ou d'une fondation profonde.

Remarque Pédagogique

Cette valeur \( S_{\text{pr}} \) est celle qui sera comparée aux critères du projet. C'est le "juge de paix" de notre conception.

Normes

Le calcul doit être mené avec précision (pas trop d'arrondis intermédiaires) car quelques millimètres peuvent changer la conformité ou non au cahier des charges.

Formule(s)

S_{\text{pr}} = \xi \times S_0

Hypothèses

On suppose que le facteur \(\xi\) représente fidèlement l'interaction complexe pour ce niveau de charge.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Tassement initial (\(S_0\))	22.6 cm
Facteur (\(\xi\))	0.572

Astuces

Vérification mentale : on attend un peu plus de la moitié de 22.6. Donc autour de 11-13 cm. Si vous trouvez 50 cm ou 2 cm, c'est louche.

Calcul(s)

Application de la formule

Il ne reste plus qu'à multiplier le tassement initial sans pieux par notre facteur de réduction.

\begin{aligned} S_{\text{pr}} &= 0.572 \times 22.6 \text{ cm} \\ &= 12.9272 \text{ cm} \\ &\approx 12.9 \text{ cm} \end{aligned}

Le calcul direct donne la valeur en centimètres.

Nous arrondissons à une décimale pour être cohérent avec la précision des données géotechniques.

Schéma (Après les calculs)

Comparaison visuelle claire du gain de tassement.

Réflexions

Nous avons réussi à réduire le tassement de près de 10 cm. C'est un gain structurel majeur qui limitera la fissuration.

Points de vigilance

Gardez toujours les mêmes unités (cm ou m) tout au long du calcul final.

Points à retenir

Le système mixte (radier + pieux) est un compromis économique très efficace.

Le saviez-vous ?

Dans certaines conceptions modernes, on place les pieux uniquement au centre du radier pour réduire le tassement différentiel ("bombement") plutôt que le tassement moyen.

FAQ

Questions sur le résultat.

Résultat Final

Le tassement final du radier sur pieux est de 12.9 cm.

A vous de jouer

Calculez le tassement si le facteur était de 0.5 (arrondir à 1 décimale).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

Application du facteur correctif.
Comparaison Avant/Après.
Gain en performance.

Question 5 : Conclusion sur l'efficacité

Principe

Un calcul d'ingénierie ne sert à rien sans une prise de décision. Nous devons confronter notre résultat (la réalité physique prédite) aux exigences du client ou de la norme (la contrainte réglementaire).

Mini-Cours

En géotechnique, on définit des valeurs limites de service (ELS). Pour un bâtiment courant, un tassement total de 5 cm est souvent la limite acceptable pour éviter les désordres sur les réseaux et les structures adjacentes.

Remarque Pédagogique

Conclure "ça ne passe pas" n'est pas un échec, c'est une étape de conception. L'ingénieur doit alors proposer des solutions : plus de pieux, pieux plus longs, ou amélioration du sol.

Normes

L'Eurocode 7 impose de vérifier : \( S_{\text{calculé}} \le S_{\text{admissible}} \).

Analyse

Tassement calculé (\( S_{\text{pr}} \)) : 12.9 cm
Tassement admissible (\( S_{\text{adm}} \)) : 5.0 cm

Calcul(s)

Écart de conformité

Calculons de combien nous dépassons la limite autorisée.

\begin{aligned} \Delta S &= S_{\text{pr}} - S_{\text{adm}} \\ &= 12.9 - 5.0 \\ &= 7.9 \text{ cm} \end{aligned}

Nous avons un excédent de tassement de près de 8 cm.

Conclusion

Le tassement calculé (12.9 cm) est largement supérieur au tassement admissible (5 cm). La condition de service n'est pas vérifiée.

Réflexions

La solution actuelle avec 25 pieux est insuffisante. Il faut itérer la conception.

Astuces

Si le tassement est plus du double de la limite, de petits ajustements ne suffiront pas. Il faut changer de stratégie (ex: pieux ancrés dans le substratum rigide).

Points de vigilance

Ne jamais "arranger" les chiffres pour que ça passe. La sécurité avant tout !

Points à retenir

La conception est un processus itératif : Hypothèse -> Calcul -> Vérification -> Correction.

Le saviez-vous ?

L'aéroport du Kansai au Japon s'est tassé de plus de 11 mètres depuis sa construction ! Heureusement, cela avait été prévu (plus ou moins).

FAQ

Questions sur la conclusion.

Résultat Final

La conception n'est pas validée. Il faut revoir le dimensionnement.

A vous de jouer

Si la limite était de 15 cm, la solution serait-elle acceptable ? (1 pour Oui, 0 pour Non)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Comparaison Calcul vs Admissible.
Validation ou Rejet.
Propositions d'amélioration.

Outil Interactif : Simulateur de Tassement

Observez comment la charge (Q) et le nombre de pieux (np) influencent le tassement final.

Paramètres d'Entrée

Charge Q (MN) 40 MN

Nombre de Pieux (np) 25 Pieux

Résultats Clés

Tassement Sans Pieux (\( S_0 \)) -

Tassement Avec Pieux (\( S_{\text{pr}} \)) -

Glossaire

Radier: Fondation superficielle constituée d'une dalle en béton armé couvrant toute la surface du bâtiment.
Interaction Sol-Structure: Phénomène où la déformation du sol influence les efforts dans la structure, et vice-versa.
Tassement Différentiel: Différence de tassement entre deux points de la fondation, cause principale des fissures.
Pieu Flottant: Pieu qui transmet la charge principalement par frottement latéral le long de son fût, sans atteindre un substratum dur.

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Géométrie et Charges

Modélisation du Problème (Coupe Transversale)

Questions à traiter

Les bases sur les Fondations Mixtes

Correction : Réduction de Tassement d'un Radier par Pieux

Question 1 : Calcul de la contrainte verticale (q)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calcul du tassement du radier seul (S₀)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Estimation du facteur de réduction (ξ)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calcul du tassement final (Spr)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ