Résistance en Compression du Massif Rocheux

Contexte : Le dimensionnement d'un tunnel.

Dans le cadre d'un projet de génie civil, nous devons évaluer la stabilité d'un tunnel creusé dans un massif de granodiorite. Une étape cruciale est de déterminer la résistance du massif rocheux, qui est intrinsèquement plus faible que celle de la roche intacte en raison de la présence de fractures et de discontinuités. Pour cela, nous utiliserons le critère de Hoek-BrownUn critère de rupture empirique utilisé en mécanique des roches pour estimer la résistance d'un massif rocheux fracturé., un outil fondamental en mécanique des roches.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'application d'un critère empirique majeur pour passer des propriétés d'un échantillon de roche testé en laboratoire à la résistance à grande échelle d'un massif rocheux complet, une compétence essentielle pour tout ingénieur géotechnicien.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et utiliser les paramètres du critère de Hoek-Brown : \(\sigma_{\text{ci}}\), GSI, \(m_{\text{i}}\) et D.
Calculer les constantes dérivées du massif rocheux : \(m_{\text{b}}\), \(s\), et \(a\).
Déterminer la résistance à la compression uniaxiale du massif rocheux (\(\sigma_{\text{cmassif}}\)).
Calculer la résistance globale du massif sous une contrainte de confinement donnée.

Données de l'étude

L'étude géotechnique a fourni les caractéristiques suivantes pour le massif de granodiorite.

Distinction entre Roche Intacte et Massif Rocheux

Paramètre	Symbole	Description	Valeur	Unité
Résistance à la compression uniaxiale	\(\sigma_{\text{ci}}\)	Résistance de l'échantillon de roche intacte	120	MPa
Constante du matériau	\(m_{\text{i}}\)	Constante empirique pour la granodiorite	17	-
Indice de Résistance Géologique	GSI	Qualité globale du massif rocheux	65	-
Facteur de perturbation	D	Dommages dus à l'excavation (tir de mine)	0.0	-

Questions à traiter

Calculer les paramètres du massif rocheux pour le critère de Hoek-Brown : \(m_{\text{b}}\), \(s\) et \(a\).
Déterminer la résistance à la compression uniaxiale du massif rocheux, \(\sigma_{\text{cmassif}}\).
Calculer la contrainte principale majeure maximale, \(\sigma_1\), que le massif peut supporter pour une contrainte de confinement, \(\sigma_3\), de 5 MPa.

Les bases sur le critère de Hoek-Brown

Le critère de Hoek-Brown est une relation empirique qui décrit l'enveloppe de rupture des massifs rocheux. Il relie la contrainte principale majeure \(\sigma_1\) à la rupture à la contrainte principale mineure \(\sigma_3\).

1. Formule Générale du Critère
La relation fondamentale est donnée par : \[ \sigma_1 = \sigma_3 + \sigma_{\text{ci}} \left( m_{\text{b}} \frac{\sigma_3}{\sigma_{\text{ci}}} + s \right)^a \] Où \(m_{\text{b}}\), \(s\), et \(a\) sont des constantes qui dépendent de la qualité du massif rocheux.

2. Calcul des Constantes du Massif
Ces constantes sont calculées à partir des données de base (GSI, \(m_{\text{i}}\), D) : \[ m_{\text{b}} = m_{\text{i}} \exp\left(\frac{\text{GSI} - 100}{28 - 14D}\right) \] \[ s = \exp\left(\frac{\text{GSI} - 100}{9 - 3D}\right) \] \[ a = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}\left(e^{-\text{GSI}/15} - e^{-20/3}\right) \]

Correction : Résistance en Compression du Massif Rocheux (Hoek-Brown)

Question 1 : Calculer les paramètres du massif rocheux : \(m_{\text{b}}\), \(s\) et \(a\).

Principe

La première étape consiste à "traduire" les observations géologiques (qualité du massif via le GSI) et les propriétés de la roche intacte (\(m_{\text{i}}\)) en paramètres numériques (\(m_{\text{b}}, s, a\)) utilisables dans l'équation de résistance. Ces paramètres ajustent le comportement de la roche intacte pour tenir compte de l'effet des fractures.

Mini-Cours

Les paramètres \(m_{\text{b}}\), \(s\), et \(a\) sont des constantes empiriques qui n'ont pas de sens physique direct, mais qui permettent d'ajuster la forme de l'enveloppe de rupture. \(m_{\text{b}}\) est lié à la friction entre les blocs de roche, \(s\) représente la cohésion du massif, et \(a\) ajuste la courbure de l'enveloppe.

Remarque Pédagogique

Soyez méthodique. Le calcul de ces trois paramètres est une étape préliminaire indispensable avant toute utilisation du critère de Hoek-Brown. Une erreur ici se répercutera sur tous les calculs suivants.

Normes

Le critère de Hoek-Brown n'est pas une norme au sens réglementaire comme un Eurocode, mais c'est une méthode de calcul empirique universellement reconnue et validée dans l'ingénierie des roches pour le dimensionnement des ouvrages souterrains.

Formule(s)

Formule pour le paramètre \(m_{\text{b}}\)

m_{\text{b}} = m_{\text{i}} \exp\left(\frac{\text{GSI} - 100}{28 - 14D}\right)

Formule pour le paramètre \(s\)

s = \exp\left(\frac{\text{GSI} - 100}{9 - 3D}\right)

Formule pour le paramètre \(a\)

a = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}\left(e^{-\text{GSI}/15} - e^{-20/3}\right)

Hypothèses

L'utilisation de ces formules suppose que le massif rocheux peut être considéré comme un milieu homogène et isotrope à l'échelle de l'ouvrage étudié. On suppose également que les valeurs de GSI, \(m_{\text{i}}\) et D sont représentatives du massif.

Donnée(s)

Nous reprenons les valeurs de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Indice de Résistance Géologique	GSI	65	-
Constante du matériau intact	\(m_{\text{i}}\)	17	-
Facteur de perturbation	D	0.0	-

Astuces

Vérifiez toujours que votre GSI est bien compris entre 10 et 100. Pour \(D=0\), les dénominateurs des exponentielles se simplifient à 28 et 9, ce qui facilite le calcul mental d'un ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Flux de calcul des paramètres

Calcul(s)

Application numérique pour \(m_{\text{b}}\)

\begin{aligned} m_{\text{b}} &= 17 \times \exp\left(\frac{65 - 100}{28 - 14 \times 0}\right) \\ &= 17 \times \exp\left(\frac{-35}{28}\right) \\ &= 17 \times \exp(-1.25) \\ &\approx 17 \times 0.2865 \\ &\Rightarrow m_{\text{b}} \approx 4.87 \end{aligned}

Application numérique pour \(s\)

\begin{aligned} s &= \exp\left(\frac{65 - 100}{9 - 3 \times 0}\right) \\ &= \exp\left(\frac{-35}{9}\right) \\ &= \exp(-3.889) \\ &\Rightarrow s \approx 0.0205 \end{aligned}

Application numérique pour \(a\)

\begin{aligned} a &= \frac{1}{2} + \frac{1}{6}\left(e^{-65/15} - e^{-20/3}\right) \\ &= 0.5 + \frac{1}{6}\left(e^{-4.333} - e^{-6.667}\right) \\ &= 0.5 + \frac{1}{6}(0.0131 - 0.0013) \\ &= 0.5 + 0.00196 \\ &\Rightarrow a \approx 0.502 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des paramètres de friction

Réflexions

Les valeurs obtenues sont typiques pour un massif rocheux de qualité moyenne à bonne. La valeur de \(m_{\text{b}}\) (4.87) est bien inférieure à \(m_{\text{i}}\) (17), ce qui reflète la réduction de la "friction interne" due aux fractures. La valeur de \(s\) est faible mais non nulle, indiquant une cohésion résiduelle du massif. La valeur de \(a\) est très proche de 0.5, ce qui est caractéristique des massifs de GSI supérieur à 25.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est une mauvaise utilisation de la calculatrice pour la fonction exponentielle, notamment avec l'argument négatif. Assurez-vous de bien utiliser les parenthèses : \(\exp(-35/28)\) et non \(\exp(-35)/28\).

Points à retenir

Pour passer de la roche intacte au massif rocheux, on dégrade les caractéristiques initiales (\(\sigma_{\text{ci}}, m_{\text{i}}\)) via des paramètres (\(m_{\text{b}}, s, a\)) qui sont directement fonction de la qualité du massif (GSI) et des dommages liés à l'excavation (D).

Le saviez-vous ?

Le Dr. Evert Hoek, initiateur de ce critère, a développé la première version dans les années 1980 pour aider au dimensionnement des grands ouvrages souterrains, comme les centrales hydroélectriques. Le critère a depuis été mis à jour plusieurs fois pour améliorer sa précision.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Les paramètres calculés pour le massif rocheux sont : \(m_{\text{b}} = 4.87\), \(s = 0.0205\) et \(a = 0.502\).

A vous de jouer

Si le massif était un calcaire de qualité moyenne avec \(m_{\text{i}}=8\) et GSI=50, quels seraient les nouveaux paramètres (\(m_{\text{b}}, s, a\)) ?

Indice : \(m_{\text{b}} \approx 1.48\), \(s \approx 0.0039\), \(a \approx 0.504\)

Question 2 : Déterminer la résistance à la compression uniaxiale du massif rocheux, \(\sigma_{\text{cmassif}}\).

Principe

La résistance à la compression uniaxiale du massif est la contrainte maximale qu'il peut supporter sans aucun confinement latéral (\(\sigma_3 = 0\)). C'est une mesure directe de la "solidité" du massif et une valeur clé pour évaluer l'ampleur de la dégradation de la résistance par rapport à la roche intacte.

Mini-Cours

La résistance uniaxiale d'un massif rocheux est contrôlée par le paramètre \(s\) (qui représente la cohésion) et l'exposant \(a\). Physiquement, lorsque \(\sigma_3=0\), l'équation générale de Hoek-Brown se simplifie, car le terme lié à la friction (\(m_{\text{b}}\)) s'annule, ne laissant que le terme de cohésion pour assurer la résistance.

Remarque Pédagogique

Cette valeur est très importante car elle vous donne un premier ordre de grandeur de la qualité mécanique du massif. Comparez toujours le \(\sigma_{\text{cmassif}}\) obtenu au \(\sigma_{\text{ci}}\) initial pour quantifier la perte de résistance, qui peut être spectaculaire.

Normes

Le \(\sigma_{\text{cmassif}}\) est un paramètre d'entrée pour de nombreux modèles de calculs de stabilité, que ce soit pour des tunnels (méthodes de convergence-confinement) ou des pentes rocheuses (calculs d'équilibre limite).

Formule(s)

La résistance à la compression uniaxiale du massif rocheux est calculée en posant \(\sigma_3 = 0\) dans la formule générale, ce qui la simplifie en :

\sigma_{\text{cmassif}} = \sigma_{\text{ci}} \cdot (s)^a

Hypothèses

Ce calcul est valide sous l'hypothèse que la rupture se produit en l'absence de toute contrainte de confinement. C'est le cas à la paroi d'un tunnel non soutenu, par exemple.

Donnée(s)

Nous utilisons la valeur de \(\sigma_{\text{ci}}\) de l'énoncé et les valeurs de \(s\) et \(a\) calculées à la question précédente.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance de la roche intacte	\(\sigma_{\text{ci}}\)	120	MPa
Constante du massif	\(s\)	0.0205	-
Constante du massif	\(a\)	0.502	-

Astuces

Comme l'exposant \(a\) est souvent très proche de 0.5, vous pouvez rapidement estimer le résultat en calculant \(\sigma_{\text{ci}} \times \sqrt{s}\). Dans notre cas, \(120 \times \sqrt{0.0205} \approx 120 \times 0.143 = 17.16\) MPa, ce qui est très proche du résultat exact.

Schéma (Avant les calculs)

Essai de Compression Uniaxiale sur Massif

Calcul(s)

Application numérique pour \(\sigma_{\text{cmassif}}\)

\begin{aligned} \sigma_{\text{cmassif}} &= 120 \times (0.0205)^{0.502} \\ &= 120 \times 0.142 \\ &\Rightarrow \sigma_{\text{cmassif}} \approx 17.04 \text{ MPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Résistances

Réflexions

Le résultat de 17.04 MPa est significativement plus faible que les 120 MPa de la roche intacte. Cela illustre bien l'impact majeur des discontinuités (prises en compte via le GSI) sur la résistance globale du massif. Le massif a perdu environ 86% de sa résistance par rapport à un bloc de roche parfait.

Points de vigilance

Ne confondez pas \(\sigma_{\text{ci}}\) (résistance de la roche intacte, une donnée d'entrée) et \(\sigma_{\text{cmassif}}\) (résistance du massif, un résultat de calcul). Le second est presque toujours très inférieur au premier.

Points à retenir

La résistance à la compression simple d'un massif rocheux (\(\sigma_{\text{cmassif}}\)) est une mesure fondamentale de sa qualité. Elle est calculée avec la formule \(\sigma_{\text{ci}} \cdot s^a\) et est fortement dépendante du paramètre \(s\), qui est lui-même une fonction exponentielle du GSI.

Le saviez-vous ?

Dans les mines très profondes (plus de 2 km), les contraintes peuvent être si élevées qu'elles dépassent la résistance du massif rocheux, même pour des roches très dures. Cela peut provoquer des "coups de terrain" (rock bursts), des ruptures explosives de la roche extrêmement dangereuses.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La résistance à la compression uniaxiale du massif rocheux est \(\sigma_{\text{cmassif}} \approx 17.04 \text{ MPa}\).

A vous de jouer

Recalculez la résistance \(\sigma_{\text{cmassif}}\) pour un massif de moins bonne qualité avec un GSI de 45. (Indice : recalculez d'abord s et a pour GSI=45, vous devriez trouver s ≈ 0.0022 et a ≈ 0.505).

Question 3 : Calculer la résistance globale, \(\sigma_1\), pour une contrainte de confinement, \(\sigma_3\), de 5 MPa.

Principe

Le confinement (\(\sigma_3 > 0\)) augmente la résistance d'un massif rocheux en "refermant" les fractures et en empêchant les blocs de bouger facilement. Nous allons utiliser le critère de Hoek-Brown complet pour quantifier cet effet et trouver la contrainte maximale \(\sigma_1\) que le massif peut supporter avant de rompre.

Mini-Cours

L'augmentation de la résistance avec le confinement est un principe fondamental de la mécanique des roches et des sols. La contrainte \(\sigma_3\) génère un frottement sur les faces des discontinuités, s'opposant au glissement. Plus le confinement est fort, plus le frottement est important, et plus il faudra une contrainte \(\sigma_1\) élevée pour provoquer la rupture. C'est ce que modélise le terme \(m_{\text{b}} (\sigma_3 / \sigma_{\text{ci}})\) dans l'équation.

Remarque Pédagogique

C'est le calcul le plus important pour le dimensionnement pratique. Une contrainte de confinement de 5 MPa peut par exemple représenter la pression exercée par la roche environnante sur la paroi d'un tunnel à une certaine profondeur. Le résultat \(\sigma_1\) nous dira si la roche à cet endroit est stable ou si elle risque de se rompre.

Normes

Le calcul de l'enveloppe de rupture \(\sigma_1\) vs \(\sigma_3\) est la base des analyses de stabilité des ouvrages souterrains. Les résultats sont utilisés dans des logiciels de calcul par éléments finis ou différences finies (comme Plaxis, FLAC) pour simuler le comportement du massif autour d'une excavation.

Formule(s)

On utilise la formule générale du critère de Hoek-Brown.

\sigma_1 = \sigma_3 + \sigma_{\text{ci}} \left( m_{\text{b}} \frac{\sigma_3}{\sigma_{\text{ci}}} + s \right)^a

Hypothèses

On suppose que \(\sigma_1\) et \(\sigma_3\) sont les contraintes principales agissant sur un élément de roche. On suppose également un état de contrainte plane pour de nombreuses applications de tunnel, bien que ce calcul soit ponctuel et tridimensionnel.

Donnée(s)

On rassemble toutes les données nécessaires, y compris la contrainte de confinement imposée.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Contrainte de confinement	\(\sigma_3\)	5	MPa
Résistance de la roche intacte	\(\sigma_{\text{ci}}\)	120	MPa
Constante du massif	\(m_{\text{b}}\)	4.87	-
Constante du massif	\(s\)	0.0205	-
Constante du massif	\(a\)	0.502	-

Astuces

Décomposez le calcul. Calculez d'abord le terme à l'intérieur de la parenthèse, puis élevez-le à la puissance \(a\), multipliez par \(\sigma_{\text{ci}}\), et enfin ajoutez \(\sigma_3\). Cela minimise les risques d'erreur de saisie sur la calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)

État de contrainte triaxiale

Calcul(s)

Application numérique pour \(\sigma_1\)

\begin{aligned} \sigma_1 &= 5 + 120 \left( 4.87 \times \frac{5}{120} + 0.0205 \right)^{0.502} \\ &= 5 + 120 \left( 0.2029 + 0.0205 \right)^{0.502} \\ &= 5 + 120 \left( 0.2234 \right)^{0.502} \\ &= 5 + 120 \times 0.471 \\ &= 5 + 56.52 \\ &\Rightarrow \sigma_1 \approx 61.52 \text{ MPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Positionnement sur l'enveloppe de rupture

Réflexions

Avec un confinement de seulement 5 MPa, la résistance du massif passe de 17.04 MPa (uniaxiale) à 61.52 MPa. La résistance a plus que triplé ! Cela démontre l'importance capitale de la contrainte de confinement sur la stabilité d'un massif rocheux.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes vos contraintes (\(\sigma_1\), \(\sigma_3\), \(\sigma_{\text{ci}}\)) sont dans la même unité (ici, le MPa) avant de commencer le calcul. Un mélange d'unités (kPa et MPa par exemple) est une source d'erreur fatale.

Points à retenir

La résistance d'un massif rocheux n'est pas une valeur unique mais une fonction de l'état de contrainte. L'équation de Hoek-Brown permet de calculer cette résistance (\(\sigma_1\)) pour n'importe quel niveau de confinement (\(\sigma_3\)). Le confinement augmente toujours la résistance.

Le saviez-vous ?

Le concept de confinement pour augmenter la résistance est utilisé activement dans le soutènement des tunnels. La pose de boulons d'ancrage et de béton projeté crée une "fausse" contrainte de confinement sur la paroi du tunnel, ce qui augmente la résistance de la roche et prévient les ruptures.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Pour un confinement de 5 MPa, le massif rocheux peut supporter une contrainte principale majeure maximale de 61.52 MPa.

A vous de jouer

En utilisant les mêmes paramètres de massif, quelle serait la résistance \(\sigma_1\) si le confinement \(\sigma_3\) était de 10 MPa ?

Outil Interactif : Simulateur de Résistance

Utilisez cet outil pour visualiser comment la résistance du massif rocheux (l'enveloppe de rupture) change en fonction de sa qualité (GSI) et comment le confinement (\(\sigma_3\)) augmente sa capacité portante (\(\sigma_1\)).

Paramètres d'Entrée

Indice de Résistance Géologique (GSI) 65

Contrainte de Confinement (\(\sigma_3\)) (MPa) 5 MPa

Résultats Clés

Résistance Uniaxiale Massif (\(\sigma_{\text{cmassif}}\)) - MPa

Résistance Globale du Massif (\(\sigma_1\)) - MPa

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente principalement l'Indice de Résistance Géologique (GSI) ?

La couleur de la roche.
La résistance de la roche intacte.
La qualité structurale du massif rocheux (fracturation, altération).

2. Si le facteur de perturbation D augmente (par exemple, suite à des tirs de mine mal contrôlés), comment évolue la résistance du massif rocheux ?

Elle augmente.
Elle diminue.
Elle reste inchangée.

3. La résistance à la compression uniaxiale du massif rocheux (\(\sigma_{\text{cmassif}}\)) est toujours...

Inférieure ou égale à la résistance de la roche intacte (\(\sigma_{\text{ci}}\)).
Supérieure à la résistance de la roche intacte (\(\sigma_{\text{ci}}\)).
Toujours égale à zéro.

Massif Rocheux: Ensemble du volume de roche in-situ, incluant la matrice rocheuse intacte ainsi que l'ensemble des discontinuités (failles, joints, fractures) qui l'affectent.
Résistance à la compression uniaxiale (\(\sigma_{\text{ci}}\)): Contrainte maximale qu'un échantillon de roche intacte (sans fractures) peut supporter en compression simple avant de rompre.
Indice de Résistance Géologique (GSI): Système de classification visuelle permettant d'estimer la qualité d'un massif rocheux en se basant sur sa structure et l'état des surfaces des discontinuités.