Stabilité d'un Mur-Poids en Béton

Comprendre la Stabilité d'un Mur de Soutènement

Un mur-poidsOuvrage de soutènement dont la stabilité est assurée majoritairement par son propre poids. Il est souvent massif et non armé ou très peu armé. est une structure massive conçue pour retenir des terres. Sa sécurité dépend de sa capacité à résister à trois modes de défaillance principaux : le renversementRotation du mur autour de son pied avant, causée par les forces de poussée qui créent un moment moteur supérieur au moment stabilisateur (poids)., le glissementTranslation horizontale du mur sur sa base. Cela se produit si la force de poussée dépasse la force de frottement mobilisable entre la fondation et le sol. sur sa base, et le poinçonnement du sol de fondation (dépassement de la portanceContrainte maximale que le sol peut supporter sans rupture. La vérification consiste à s'assurer que la contrainte transmise par le mur reste inférieure à cette limite.). L'analyse de stabilité consiste à calculer les forces motrices (qui tendent à déstabiliser le mur) et les forces résistantes (qui assurent sa stabilité), puis à vérifier que les coefficients de sécurité réglementaires sont respectés pour chaque mode de ruine.

Remarque Pédagogique : L'étape la plus critique est souvent la détermination de la poussée des terresForce exercée par le massif de sol sur le mur. Elle dépend des caractéristiques du sol (poids, angle de frottement) et de la géométrie.. On utilise classiquement les théories de Rankine ou de Coulomb. Pour cet exercice, nous utiliserons la théorie de Rankine, qui est plus simple et s'applique bien aux murs à parement vertical et remblai horizontal.

Données de l'étude

On étudie la stabilité d'un mur-poids à profil trapézoïdal retenant un massif de sable sec. On néglige la butée des terres à l'avant du mur pour une approche sécuritaire.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

Hauteur du mur (\(H\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Largeur en crête (\(b\)) : \(0.5 \, \text{m}\)
Largeur en base (\(B\)) : \(2.5 \, \text{m}\)
Fruit amont (côté terre) : vertical
Poids volumique du béton (\(\gamma_b\)) : \(25 \, \text{kN/m}^3\)

Caractéristiques du sol :

Poids volumique du sol (\(\gamma_s\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
Angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
Angle de frottement sol-béton (\(\delta\)) : \(20^\circ\)
Contrainte de portance admissible du sol de fondation (\(q_{\text{adm}}\)) : \(150 \, \text{kPa}\)

Schéma du Mur-Poids

Questions à traiter

Calculer le poids du mur (\(W\)) et la position de son centre de gravité.
Calculer la force de poussée active des terres (\(F_a\)) selon Rankine et son point d'application.
Vérifier la stabilité au renversement par rapport au point O.
Vérifier la stabilité au glissement sur la base.
Vérifier la contrainte sur le sol de fondation (portance).

Correction : Vérification de la Stabilité du Mur-Poids

Question 1 : Poids du Mur (\(W\)) et Centre de Gravité

Principe :

Le poids est la force stabilisatrice principale. Pour une section trapézoïdale, il est plus simple de la décomposer en un rectangle et un triangle. On calcule le poids et le centre de gravité de chaque forme, puis on les combine pour trouver le centre de gravité global de la section du mur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La décomposition en formes simples (rectangles, triangles) est une méthode universelle en mécanique pour trouver le barycentre (centre de gravité) d'une section complexe. L'exactitude de cette étape est fondamentale pour le calcul du moment stabilisateur.

Calcul(s) :

On décompose le mur en un rectangle (W₁) et un triangle (W₂).

W_1 = b \times H \times \gamma_b = 0.5 \times 4.0 \times 25 = 50 \, \text{kN/m}

Le centre de gravité de W₁ est à \(x_1 = 2.5 - 0.5/2 = 2.25 \, \text{m}\) du point O.

W_2 = \frac{1}{2} \times (B-b) \times H \times \gamma_b = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 4.0 \times 25 = 100 \, \text{kN/m}

Le centre de gravité de W₂ est à \(x_2 = \frac{2}{3} \times (B-b) = \frac{2}{3} \times 2.0 \approx 1.33 \, \text{m}\) du point O.

W_{\text{total}} = W_1 + W_2 = 50 + 100 = 150 \, \text{kN/m}

Position du centre de gravité global (\(x_{\text{G}}\)) par rapport à O :

\begin{aligned} x_{\text{G}} &= \frac{W_1 x_1 + W_2 x_2}{W_{\text{total}}} \\ &= \frac{(50 \times 2.25) + (100 \times 1.33)}{150} \\ &\approx 1.64 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 1 : Le poids total du mur est \(W = 150 \, \text{kN/m}\), et son centre de gravité est à \(x_{\text{G}} \approx 1.64 \, \text{m}\) du pied avant (point O).

Question 2 : Poussée Active des Terres (\(F_a\))

Principe :

La théorie de Rankine pour un sol sans cohésion donne une répartition de pression triangulaire. La force résultante, \(F_a\), est l'aire de ce triangle de pression. Son point d'application se situe au tiers de la hauteur du mur, depuis la base.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le coefficient de poussée active \(K_a\) est toujours inférieur à 1. Il représente la fraction du poids des terres qui se "transforme" en poussée horizontale. Plus le sol est frottant (grand \(\phi'\)), plus \(K_a\) est faible, et donc moins le mur est poussé.

Formule(s) utilisée(s) :

Coefficient de poussée active \(K_a\) :

K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right)

Force de poussée active \(F_a\) :

F_a = \frac{1}{2} K_a \gamma_s H^2

Calcul(s) :

\begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(30^\circ) \\ &\approx 0.333 \end{aligned}

\begin{aligned} F_a &= \frac{1}{2} K_a \gamma_s H^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 0.333 \times 18 \times (4.0)^2 \\ &= 48 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Le point d'application de cette force est à \(y_a = H/3 = 4.0/3 \approx 1.33 \, \text{m}\) au-dessus de la base du mur.

Résultat Question 2 : La force de poussée des terres est \(F_a \approx 48 \, \text{kN/m}\), appliquée à \(1.33 \, \text{m}\) de la base.

Question 3 : Stabilité au Renversement

Principe :

On vérifie que les moments qui tendent à stabiliser le mur (moments résistants) sont suffisamment plus grands que les moments qui tendent à le faire basculer (moments moteurs). Le calcul se fait par rapport au point de rotation potentiel, le coin avant de la semelle (point O).

Point Clé : Le coefficient de sécurité (\(F_{\text{SR}}\)) doit être supérieur ou égal à 1.5 en situation courante (normes Eurocode 7). C'est une marge de sécurité pour pallier les incertitudes sur les charges et les résistances.

Calcul(s) :

Moment moteur (dû à la poussée) :

\begin{aligned} M_{\text{moteur}} &= F_a \times y_a \\ &= 48 \times 1.33 \\ &= 63.84 \, \text{kNm/m} \end{aligned}

Moment résistant (dû au poids du mur) :

\begin{aligned} M_{\text{résistant}} &= W \times x_{\text{G}} \\ &= 150 \times 1.64 \\ &= 246 \, \text{kNm/m} \end{aligned}

Coefficient de sécurité au renversement :

\begin{aligned} F_{\text{SR}} &= \frac{M_{\text{résistant}}}{M_{\text{moteur}}} \\ &= \frac{246}{63.84} \\ &\approx 3.85 \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le coefficient de sécurité au renversement est \(F_{\text{SR}} \approx 3.85\). Comme \(3.85 \ge 1.5\), la stabilité au renversement est assurée.

Question 4 : Stabilité au Glissement

Principe :

On vérifie que la force maximale de frottement mobilisable sous la base du mur est suffisamment supérieure à la force horizontale qui pousse le mur (la poussée des terres).

Point Clé : Le coefficient de sécurité (\(F_{\text{SG}}\)) doit être supérieur ou égal à 1.5. La force de frottement dépend de la force verticale totale (le poids du mur) et de l'angle de frottement entre le sol et la base du mur, \(\delta\), qui est une donnée géotechnique essentielle.

Formule(s) utilisée(s) :

F_{\text{SG}} = \frac{\text{Forces résistantes}}{\text{Forces motrices}} = \frac{W \cdot \tan(\delta)}{F_a}

Calcul(s) :

Force résistante (frottement) :

\begin{aligned} F_{\text{frottement}} &= W \times \tan(\delta) \\ &= 150 \times \tan(20^\circ) \\ &\approx 150 \times 0.364 \\ &\approx 54.6 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Force motrice (poussée) : \(F_a = 48 \, \text{kN/m}\).

Coefficient de sécurité au glissement :

\begin{aligned} F_{\text{SG}} &= \frac{54.6}{48} \\ &\approx 1.14 \end{aligned}

Résultat Question 4 : Le coefficient de sécurité au glissement est \(F_{\text{SG}} \approx 1.14\). Comme \(1.14 < 1.5\), la stabilité au glissement n'est PAS assurée.

Test de Compréhension : Pour augmenter la stabilité au glissement, la solution la plus directe est :

...de réduire la hauteur du mur.
...d'augmenter le poids du mur (par ex. en élargissant sa base).
...d'utiliser un sol de remblai plus léger.

Question 5 : Vérification de la Portance

Principe :

On calcule la contrainte maximale exercée par le mur sur le sol. Cette contrainte n'est pas uniforme à cause du moment de renversement. On doit s'assurer que cette contrainte maximale ne dépasse pas la portance admissible du sol.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La formule de la contrainte (formule de Navier) n'est valide que si la résultante des forces est dans le "noyau central" de la semelle (excentricité \(e < B/6\)). Si \(e > B/6\), une partie de la semelle se soulève (traction), et le calcul de la contrainte change. On cherche toujours à éviter ce soulèvement.

Formule(s) utilisée(s) :

Excentricité de la charge (\(e\)) :

e = \frac{B}{2} - \frac{M_{\text{résistant}} - M_{\text{moteur}}}{W_{\text{total}}}

Contraintes maximale (\(q_{\text{max}}\)) et minimale (\(q_{\text{min}}\)) sous la semelle :

q_{\text{max/min}} = \frac{W_{\text{total}}}{B \times 1} \left(1 \pm \frac{6e}{B}\right)

Calcul(s) :

\begin{aligned} e &= \frac{B}{2} - \frac{M_{\text{résistant}} - M_{\text{moteur}}}{W_{\text{total}}} \\ &= \frac{2.5}{2} - \frac{246 - 63.84}{150} \\ &= 1.25 - 1.21 \\ &= 0.04 \, \text{m} \end{aligned}

Condition de non-soulèvement : \(e < B/6\). Ici, \(B/6 = 2.5/6 \approx 0.417 \, \text{m}\). Comme \(0.04 < 0.417\), la semelle reste entièrement comprimée.

\begin{aligned} q_{\text{max}} &= \frac{W_{\text{total}}}{B} \left(1 + \frac{6e}{B}\right) \\ &= \frac{150}{2.5} \left(1 + \frac{6 \times 0.04}{2.5}\right) \\ &= 60 \times (1 + 0.096) \\ &\approx 65.8 \, \text{kPa} \end{aligned}

Résultat Question 5 : La contrainte maximale sur le sol est \(q_{\text{max}} \approx 65.8 \, \text{kPa}\). Comme \(65.8 \, \text{kPa} < 150 \, \text{kPa}\), la portance du sol est suffisante.

Tableau Récapitulatif Interactif des Stabilités

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les coefficients de sécurité.

Mode de Vérification	Coefficient de Sécurité Calculé	Coefficient Requis	Statut
Renversement	Cliquez pour révéler	1.50	Stable
Glissement	Cliquez pour révéler	1.50	Instable
Portance (\(q_{\text{max}}\))	Cliquez pour révéler	150 kPa	Stable

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Pour améliorer la stabilité au glissement, on ajoute une "bêche" sous la fondation, ce qui augmente l'angle de frottement effectif sol-béton à \(\delta = 28^\circ\). Recalculez le coefficient de sécurité au glissement (\(F_{\text{SG}}\)) avec cette nouvelle valeur. Le mur devient-il stable ?

Nouveau \(F_{\text{SG}}\) =

Pièges à Éviter

Butée à l'avant : On néglige souvent (et prudemment) la butée des terres à l'avant du mur, car ce sol peut être remanié ou excavé. La prendre en compte dans les calculs peut donner une fausse impression de sécurité.

Présence d'eau : La présence d'une nappe phréatique derrière le mur modifie radicalement les calculs : le poids volumique du sol devient déjaugé et il faut ajouter la poussée hydrostatique. C'est un cas beaucoup plus défavorable qui nécessite un drainage efficace.

Bras de Levier : Une erreur sur la position du centre de gravité ou sur le point d'application de la poussée peut fausser entièrement le calcul de stabilité au renversement.

Simulation Interactive de la Stabilité

Variez la hauteur du mur et l'angle de frottement du sol pour observer leur impact sur les coefficients de sécurité.

Paramètres de Simulation

Hauteur Mur (\(H\)): 4.0 m

Angle Frottement Sol (\(\phi'\)): 30 °

Résultats de Stabilité

F.S. Renversement

F.S. Glissement

Pour Aller Plus Loin

1. Théorie de Coulomb : Si le mur a un fruit (une inclinaison) côté remblai ou si le remblai est incliné, la théorie de Rankine n'est plus applicable. Il faut utiliser la théorie de Coulomb, plus générale, qui prend en compte le frottement entre le sol et le mur (\(\delta\)) pour calculer la poussée.

2. Effets Sismiques : En zone sismique, une poussée dynamique supplémentaire, due à l'accélération du sol, s'ajoute à la poussée statique. Des méthodes comme celle de Mononobe-Okabe permettent de la calculer et augmentent considérablement les forces déstabilisatrices.

Le Saviez-Vous ?

Les murs en gabions, ces cages métalliques remplies de pierres, sont une forme de mur-poids. Leur principal avantage est leur perméabilité : ils ne subissent pas la poussée de l'eau car celle-ci s'écoule librement à travers, ce qui les rend très stables et écologiques.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le mur est-il instable au glissement mais stable au renversement ?

Cela arrive fréquemment. La largeur de la base (\(B\)) a une influence énorme sur le moment stabilisateur (elle augmente le poids et le bras de levier), rendant le renversement difficile. En revanche, le glissement ne dépend que du poids total et du coefficient de frottement. Un sol de fondation de mauvaise qualité (faible \(\delta\)) peut donc provoquer le glissement d'un mur même très large et stable au renversement.

Que se passe-t-il si le sol derrière le mur n'est pas sec ?

C'est le scénario le plus redouté. La présence d'eau change tout : le poids volumique du sol à utiliser est le poids déjaugé (plus faible), ce qui diminue le poids stabilisateur des terres. De plus, il faut ajouter la poussée de l'eau (poussée hydrostatique), qui est une force considérable s'appliquant sur toute la hauteur de la nappe. C'est pourquoi un système de drainage efficace (barbacanes, drain vertical) est absolument obligatoire pour tous les murs de soutènement.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la principale force qui assure la stabilité d'un mur-poids ?

La cohésion du sol.
La butée des terres à l'avant.
Son propre poids.

2. Si l'angle de frottement du sol (\(\phi'\)) augmente, la poussée des terres...

...diminue.
...augmente.
...reste inchangée.

Glossaire

Mur-poids: Ouvrage de soutènement dont la stabilité est assurée majoritairement par son propre poids. Il est souvent massif et non armé ou très peu armé.
Renversement: Rotation du mur autour de son pied avant, causée par les forces de poussée qui créent un moment moteur supérieur au moment stabilisateur (poids).
Glissement: Translation horizontale du mur sur sa base. Cela se produit si la force de poussée dépasse la force de frottement mobilisable entre la fondation et le sol.
Portance: Contrainte maximale que le sol peut supporter sans rupture. La vérification consiste à s'assurer que la contrainte transmise par le mur reste inférieure à cette limite.
Poussée des terres: Force exercée par le massif de sol sur le mur. Elle dépend des caractéristiques du sol (poids, angle de frottement) et de la géométrie.

Stabilité d’un Mur-Poids en Béton

Données de l'étude

Schéma du Mur-Poids

Questions à traiter

Correction : Vérification de la Stabilité du Mur-Poids

Question 1 : Poids du Mur (\(W\)) et Centre de Gravité

Principe :

Remarque Pédagogique :

Calcul(s) :

Question 2 : Poussée Active des Terres (\(F_a\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 3 : Stabilité au Renversement

Principe :

Calcul(s) :

Question 4 : Stabilité au Glissement

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 5 : Vérification de la Portance

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

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Pièges à Éviter

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