Modélisation Thermo-Mécanique : Stabilité d'une Galerie de Stockage
Contexte : Le Comportement Thermo-Mécanique (THM)L'étude des couplages entre la température (Thermique), la pression de l'eau (Hydraulique) et les contraintes (Mécanique) dans la roche..
Cet exercice porte sur la modélisation de l'impact thermique des déchets nucléaires stockés en galerie souterraine. Les conteneurs de déchets dégagent de la chaleur, ce qui augmente la température de la roche environnante (l'argilite). Cette augmentation de température provoque une dilatation de la roche. Étant confinée, cette dilatation est empêchée, ce qui génère des contraintes thermiques supplémentaires. Celles-ci s'ajoutent aux contraintes naturelles (dites "in situ") et aux contraintes induites par le creusement de la galerie. L'objectif est de vérifier si la contrainte totale dépasse la résistance de la roche, ce qui pourrait causer son endommagement.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à superposer les effets mécaniques (dûs au creusement) et thermiques (dûs à la chaleur) pour évaluer la stabilité d'un ouvrage souterrain, un enjeu majeur en ingénierie des roches.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'augmentation de température (\(\Delta T\)) à la paroi d'une galerie à partir d'un flux de chaleur.
- Déterminer la contrainte thermique tangentielle (\(\sigma_{\theta \theta}^{th}\)) induite par cette augmentation de température.
- Évaluer le risque de rupture en compression en comparant la contrainte tangentielle totale à la résistance de la roche.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de Roche | Argilite (type Callovo-Oxfordien) |
| Profondeur (z) | 500 m |
| Rayon de la galerie (a) | 2.5 m |
Schéma de la Galerie de Stockage
| Nom du Paramètre | Description ou Formule | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Flux de chaleur linéaire | Q | 100 | W/m |
| Conductivité thermique | \(\lambda\) | 1.5 | W/m.K |
| Temps d'étude | t | 50 | ans |
| Diffusivité thermique | \(\kappa = \lambda / (\rho c_p)\) | 5.0 x 10⁻⁷ | m²/s |
| Module d'Young | E | 6 | GPa |
| Coefficient de Poisson | \(\nu\) | 0.3 | - |
| Coeff. dilatation linéaire | \(\alpha_L\) | 1.2 x 10⁻⁵ | K⁻¹ |
| Contrainte in situ (hydro.) | \(P_0 \approx \rho g z\) | 12.5 | MPa |
| Résistance Comp. Simple | RCS | 25 | MPa |
Questions à traiter
- Calculer l'augmentation de température (\(\Delta T\)) à la paroi de la galerie (r = a = 2.5 m) après 50 ans.
- Déterminer la contrainte thermique tangentielle (\(\sigma_{\theta \theta}^{th}\)) induite à la paroi (en supposant un modèle de dilatation contrainte).
- Calculer la contrainte tangentielle totale (\(\sigma_{\theta \theta}^{tot}\) = contrainte de Kirsch + contrainte thermique) à la paroi et évaluer le risque de rupture.
- Calculer la contrainte radiale totale (\(\sigma_{rr}^{tot}\)) à la paroi (r=a). Quelle est sa signification physique ?
Les bases sur la Thermo-Mécanique des Roches
Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de trois concepts : la diffusion de chaleur dans un milieu, la contrainte générée par une dilatation empêchée, et la contrainte générée par un creusement (excavation).
1. Diffusion Thermique (Approximation de Carslaw-Jaeger)
Pour un flux linéaire constant \(Q\) dans un milieu infini, l'augmentation de température \(\Delta T\) à une distance \(r\) après un temps \(t\) est approximée par (pour \(t\) grand) :
\[ \Delta T(r,t) \approx \frac{Q}{4 \pi \lambda} \left[ \ln \left( \frac{4 \kappa t}{r^2} \right) - \gamma \right] \]
Où \(\gamma \approx 0.577\) est la constante d'Euler-Mascheroni.
2. Contrainte Thermo-élastique (Modèle simplifié)
Si une augmentation de température \(\Delta T\) est appliquée à un matériau dont la dilatation est complètement empêchée dans toutes les directions, la contrainte de compression induite est (en déformation plane) :
\[ \sigma^{th} \approx \frac{\alpha_L E}{1-\nu} \Delta T \]
3. Contraintes d'Excavation (Solution de Kirsch)
Lorsqu'on creuse une galerie circulaire dans un champ de contrainte in situ hydrostatique \(P_0\), la contrainte tangentielle (orthoradiale) à la paroi (\(r=a\)) est :
\[ \sigma_{\theta \theta}^{exc} = 2 P_0 \]
Cette contrainte est une compression qui "concentre" la charge que la roche retirée supportait.
Correction : Stabilité d'une Galerie de Stockage
Question 1 : Calcul de l'augmentation de température (\(\Delta T\)) à la paroi (r=a) après 50 ans
Principe
On applique la formule de diffusion thermique pour une source linéaire. La chaleur s'évacue dans le massif rocheux, et la température augmente avec le temps. Nous calculons cette augmentation à la paroi même de la galerie (r = a).
Mini-Cours
La formule de Carslaw-Jaeger est une solution classique pour ce type de problème. Elle montre que la température n'atteint jamais un état d'équilibre (elle augmente indéfiniment avec le logarithme du temps), mais l'augmentation devient très lente après plusieurs décennies.
Remarque Pédagogique
C'est une approximation. En réalité, le flux de chaleur des déchets diminue avec le temps (décroissance radioactive), ce qui n'est pas pris en compte ici pour simplifier. Nous utilisons le rayon \(a\) de la galerie comme distance de calcul \(r\).
Normes
Les calculs de sûreté pour le stockage géologique (par ex. en France, par l'ANDRA) utilisent des modèles numériques (THM) bien plus complexes, mais basés sur ces principes fondamentaux de diffusion et de thermo-élasticité.
Formule(s)
Nous utilisons l'approximation pour un temps long, appliquée en \(r=a\).
Hypothèses
Le massif rocheux est supposé infini, homogène et isotrope. Le flux de chaleur \(Q\) est constant sur 50 ans. La constante d'Euler \(\gamma\) est prise égale à 0.577.
Donnée(s)
Ce sont les chiffres de l'énoncé nécessaires pour cette étape.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Flux de chaleur | Q | 100 | W/m |
| Conductivité thermique | \(\lambda\) | 1.5 | W/m.K |
| Diffusivité thermique | \(\kappa\) | 5.0 x 10⁻⁷ | m²/s |
| Temps d'étude | t | 50 | ans |
| Rayon galerie | a | 2.5 | m |
Astuces
L'erreur la plus fréquente est l'oubli de la conversion du temps. Le temps \(t\) doit être en secondes pour être cohérent avec la diffusivité \(\kappa\) (en m²/s).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma conceptuel montre le flux de chaleur \(Q\) partant de la paroi (en \(r=a\)) et se diffusant dans le massif infini, augmentant sa température.
Diffusion de la chaleur depuis la paroi
Calcul(s)
Nous décomposons le calcul en plusieurs étapes pour plus de clarté.
Étape 1 : Conversion du temps en secondes
Étape 2 : Calcul de l'argument du logarithme
Étape 3 : Calcul de l'augmentation de température \(\Delta T\)
Schéma (Après les calculs)
Le résultat montre un profil de température décroissant avec la distance, avec un pic de +30 K à la paroi.
Profil de Température (conceptuel)
Réflexions
Une augmentation de 30°C est significative. La température de la roche, initialement à (par exemple) 15-20°C à 500m de profondeur, passera à 45-50°C à la paroi. Cela va inévitablement induire des contraintes dues à la dilatation.
Points de vigilance
Attention à la différence entre \(\Delta T\) (augmentation de T°) et \(T\) (température absolue). Les calculs de contrainte thermique utilisent \(\Delta T\).
Points à retenir
L'évacuation de la chaleur dans les roches (milieu peu conducteur) est un processus très lent (diffusion). L'impact thermique est majeur et doit être calculé sur de longues périodes (décennies, siècles).
Le saviez-vous ?
En Suisse, au laboratoire du Mont Terri, des expériences similaires (mais à échelle réduite) sont menées pour chauffer l'argile (Opalinus Clay) et mesurer en direct les couplages THM, afin de valider les modèles numériques.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
La formule montre que \(\Delta T\) est proportionnel à \(Q\). Que deviendrait \(\Delta T\) si le flux de chaleur \(Q\) était de 120 W/m (au lieu de 100 W/m) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Diffusion thermique transitoire.
- Formule Essentielle : \(\Delta T \approx \frac{Q}{4 \pi \lambda} \left[ \ln(...) - \gamma \right]\).
- Point de Vigilance Majeur : Unités du temps (secondes).
Question 2 : Détermination de la contrainte thermique tangentielle (\(\sigma_{\theta \theta}^{th}\)) induite
Principe
La roche chauffée de \(\Delta T\) veut se dilater. Le reste du massif rocheux (plus froid) l'en empêche. Cette dilatation empêchée génère une contrainte de compression.
Mini-Cours
En thermo-élasticité, un matériau chauffé uniformément (\(\Delta T\)) et contraint de ne pas se déformer subit une contrainte \(\sigma = \alpha E \Delta T\). Dans le cas d'une déformation plane (comme une galerie, longue), le coefficient de Poisson intervient, et la contrainte est \(\sigma^{th} = \frac{\alpha_L E}{1-\nu} \Delta T\).
Remarque Pédagogique
C'est une simplification. En réalité, le champ de température n'est pas uniforme (il décroît avec \(r\)). Le calcul exact (solution de LAME thermo-élastique) est plus complexe. Nous utilisons cette approximation pour estimer l'ordre de grandeur à la paroi.
Normes
Cette approche est une base de la mécanique des milieux continus. Les contraintes thermiques sont critiques dans de nombreux domaines (génie civil, aéronautique, nucléaire).
Formule(s)
Contrainte de dilatation contrainte (déformation plane)
Hypothèses
On suppose que la dilatation à la paroi est totalement empêchée par le reste du massif (modèle simplifié). On est en déformation plane (galerie très longue).
Donnée(s)
On récupère les données matériaux de l'énoncé et le \(\Delta T\) de la Q1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coeff. dilatation linéaire | \(\alpha_L\) | 1.2 x 10⁻⁵ | K⁻¹ |
| Module d'Young | E | 6 | GPa |
| Coefficient de Poisson | \(\nu\) | 0.3 | - |
| Augmentation de Temp. | \(\Delta T\) | 30 | K |
Astuces
Attention aux unités de \(E\). 1 GPa = \(1 \times 10^9\) Pa. Le résultat final sera en Pa, qu'il faudra convertir en MPa (1 MPa = \(10^6\) Pa).
Schéma (Avant les calculs)
Schéma conceptuel de la dilatation empêchée. La roche (en bleu) veut se dilater à cause de \(\Delta T\), mais le massif (en gris) l'en empêche, créant une contrainte de compression \(\sigma^{th}\).
Dilatation thermique empêchée
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion du Module d'Young
Étape 2 : Calcul de la contrainte thermique \(\sigma_{\theta \theta}^{th}\)
Réflexions
La chaleur seule ajoute 3.1 MPa de compression tangentielle sur la paroi. Cette contrainte s'ajoute à celle déjà existante à cause du creusement.
Points de vigilance
Cette contrainte est une compression (elle "serre" la galerie). Dans nos conventions, la compression est positive. Il est crucial d'être cohérent avec les signes.
Points à retenir
- La dilatation thermique empêchée crée des contraintes de compression.
- La formule \(\frac{\alpha E}{1-\nu}\) est un facteur thermo-mécanique clé.
Le saviez-vous ?
Le Coefficient de Dilatation Thermique (CDT, ou \(\alpha_L\)) est crucial. Les rails de chemin de fer ont des joints de dilatation pour éviter ce type de contrainte en été. Dans la roche, il n'y a pas de joint !
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
La rigidité de la roche (Module E) est un paramètre clé. Que deviendrait \(\sigma_{\theta \theta}^{th}\) si la roche était plus rigide, avec \(E = 8 \text{ GPa}\) (et \(\Delta T\) toujours 30 K) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Contrainte de dilatation empêchée.
- Formule Essentielle : \(\sigma^{th} \approx \frac{\alpha_L E}{1-\nu} \Delta T\).
Question 3 : Calcul de la contrainte tangentielle totale (\(\sigma_{\theta \theta}^{tot}\)) et évaluation du risque
Principe
On utilise le principe de superposition. La contrainte totale à la paroi est la somme de la contrainte due à l'excavation (solution de Kirsch) et de la contrainte due à la chaleur (calculée en Q2). On compare ensuite ce total à la résistance de la roche (RCS).
Mini-Cours
La solution de Kirsch (1898) décrit les contraintes autour d'un trou circulaire dans un champ de contraintes. Pour un champ hydrostatique \(P_0\), la contrainte tangentielle \(\sigma_{\theta \theta}\) à la paroi vaut \(2 P_0\). C'est un "concentrateur de contrainte" (facteur 2). La contrainte thermique vient s'y ajouter.
Remarque Pédagogique
Nous vérifions le critère de rupture le plus simple : la rupture en compression. Si \(\sigma_{totale} > \text{RCS}\), la roche risque de "casser" ou "éclater" (spalling/slabbing).
Normes
C'est la base de la vérification de stabilité en mécanique des roches. On compare une sollicitation (la contrainte) à une résistance (la RCS).
Formule(s)
Contrainte d'excavation (Kirsch)
Principe de Superposition
Critère de Rupture (simplifié)
Hypothèses
Le principe de superposition est valide (comportement élastique linéaire). Le critère de rupture est simplifié (on n'utilise pas de critère plus complexes comme Hoek-Brown).
Donnée(s)
On utilise les données de l'énoncé et le résultat de la Q2.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Contrainte in situ | \(P_0\) | 12.5 | MPa |
| Résistance Comp. Simple | RCS | 25 | MPa |
| Contrainte thermique | \(\sigma_{\theta \theta}^{th}\) | 3.1 | MPa |
Astuces
Assurez-vous que toutes vos contraintes sont dans la même unité (MPa) avant de les additionner et de les comparer. Ici, c'est déjà le cas.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma montre les deux effets de compression qui s'ajoutent à la paroi de la galerie.
Superposition des contraintes tangentielles
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la contrainte d'excavation \(\sigma_{\theta \theta}^{exc}\)
Étape 2 : Calcul de la contrainte totale \(\sigma_{\theta \theta}^{tot}\)
Étape 3 : Comparaison au critère de rupture
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme des contraintes montre que la contrainte totale dépasse la limite de résistance de la roche.
Diagramme de Stabilité
Réflexions
La contrainte totale (28.1 MPa) est supérieure à la résistance (25 MPa). Cela indique que, selon ce modèle, la roche à la paroi de la galerie est en état de rupture. On s'attend à observer des fractures (éclatement, "spalling") et une augmentation de la EDZExcavation Damaged Zone. La zone de roche autour de la galerie qui est fracturée ou endommagée par le creusement..
Points de vigilance
Ce calcul est très sensible aux données. Une petite variation sur \(P_0\) ou la RCS peut changer la conclusion. De plus, nous avons additionné une contrainte d'excavation (mécanique) et une contrainte thermique. Les deux sont des compressions tangentielles, elles s'ajoutent donc.
Points à retenir
- Principe de superposition : \(\sigma_{tot} = \sigma_{in situ} + \sigma_{exc} + \sigma_{th}\). (Ici \(\sigma_{exc}\) inclut déjà l'effet de \(P_0\)).
- L'effet thermique n'est pas négligeable, il peut être le facteur déclenchant la rupture.
Le saviez-vous ?
La "Zone Endommagée par l'Excavation" (EDZ) est une zone de micro-fissures que l'on cherche à minimiser. L'effet thermique peut l'aggraver, ce qui est un problème majeur car cela augmente la perméabilité de la roche (l'eau pourrait circuler plus facilement).
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour être stable, on doit avoir \(\sigma_{\theta \theta}^{tot} \le \text{RCS}\). Donc \(2 P_0 + 3.1 \le 25 \text{ MPa}\). À quelle profondeur maximale \(z\) (en m) la galerie serait-elle stable ? (Prendre un gradient de contrainte \(\rho g \approx 0.025 \text{ MPa/m}\), donc \(P_0 = 0.025 \times z\)).
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Superposition des contraintes.
- Formules : \(\sigma_{\theta \theta}^{exc} = 2 P_0\); \(\sigma_{\theta \theta}^{tot} = \sigma_{\theta \theta}^{exc} + \sigma_{\theta \theta}^{th}\).
- Critère : \(\sigma_{\theta \theta}^{tot} \le \text{RCS}\).
Question 4 : Calcul de la contrainte radiale totale (\(\sigma_{rr}^{tot}\)) à la paroi (r=a) et signification
Principe
La contrainte radiale représente la pression exercée perpendiculairement à la paroi de la galerie. À la paroi même (surface libre), la composante mécanique de cette contrainte est nulle. Nous allons vérifier la composante thermique.
Mini-Cours
Pour une galerie circulaire dans un champ hydrostatique \(P_0\), la solution de Kirsch donne une contrainte radiale \(\sigma_{rr}^{exc} = 0\) à \(r=a\). C'est une "condition aux limites" fondamentale : la roche à la paroi n'est en contact avec rien (sauf l'air, dont la pression est nulle), donc la contrainte normale (radiale) y est nulle.
Remarque Pédagogique
Dans un modèle thermo-élastique rigoureux (plus complexe que notre approximation), la contrainte radiale thermique \(\sigma_{rr}^{th}\) est également nulle à la paroi \(r=a\) (car la paroi est libre de se déformer radialement). Notre modèle simplifié de "dilatation contrainte" ne s'applique pas parfaitement pour la contrainte radiale à la paroi.
Normes
En mécanique des milieux continus, la condition à une surface libre (sans force appliquée) est que le vecteur contrainte est nul. Cela implique que \(\sigma_{rr} = 0\), \(\tau_{r\theta} = 0\), et \(\tau_{rz} = 0\).
Formule(s)
Contrainte radiale d'excavation (Kirsch à r=a)
Contrainte radiale thermique (Modèle rigoureux à r=a)
Principe de Superposition
Hypothèses
La paroi de la galerie est une surface libre (pas de soutènement, pression de l'air négligée). On applique la solution thermo-élastique rigoureuse (sans la calculer) pour la condition à la limite.
Donnée(s)
Pas de données numériques nécessaires, la solution est analytique.
Astuces
Ne pas confondre la contrainte radiale (\(\sigma_{rr}\), perpendiculaire à la paroi) et la contrainte tangentielle (\(\sigma_{\theta \theta}\), parallèle à la paroi). C'est la tangentielle qui est élevée et cause la rupture en compression.
Schéma (Avant les calculs)
Zoom sur un élément de roche à la paroi (r=a). La contrainte tangentielle \(\sigma_{\theta \theta}\) est forte, mais la contrainte radiale \(\sigma_{rr}\) (pointant vers l'extérieur) est nulle.
État de contrainte à la paroi (r=a)
Calcul(s)
Étape 1 : Contrainte radiale d'excavation
Étape 2 : Contrainte radiale thermique (à la paroi libre)
Étape 3 : Contrainte radiale totale
Réflexions
La contrainte radiale est nulle à la paroi. Cela signifie que la roche est "libre" dans cette direction. L'état de contrainte à la paroi est uniaxial (il n'y a que de la contrainte tangentielle \(\sigma_{\theta \theta}\)). C'est pourquoi on compare directement \(\sigma_{\theta \theta}^{tot}\) à la Résistance en Compression Simple (RCS).
Points de vigilance
Attention à ne pas appliquer aveuglément la formule simplifiée de la Q2 pour la contrainte radiale. Cette formule supposait une dilatation totalement empêchée, ce qui n'est pas le cas pour la direction radiale à la paroi même.
Points à retenir
- La contrainte radiale est nulle à la paroi (\(\sigma_{rr}^{exc}(a)=0\)).
- L'état de contrainte à la paroi d'une galerie non soutenue est uniaxial (compression tangentielle).
Le saviez-vous ?
Si on posait un soutènement (comme des voussoirs en béton), celui-ci exercerait une pression de confinement \(p_s\). Alors, la contrainte radiale à la paroi ne serait plus nulle : \(\sigma_{rr}(a) = p_s\). Ce confinement aide à stabiliser la roche et à augmenter sa résistance.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Dans la solution de Kirsch (sans effet thermique), que vaut la contrainte radiale \(\sigma_{rr}^{exc}\) très loin de la galerie (quand \(r \to \infty\)) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Contrainte radiale et condition de surface libre.
- Résultat Clé : \(\sigma_{rr}^{tot}(a)=0\).
- Conséquence : L'état de contrainte à la paroi est uniaxial.
Outil Interactif : Simulateur
Ce simulateur vous permet de voir comment le flux de chaleur (Q) et la conductivité de la roche (\(\lambda\)) influencent l'augmentation de température finale et la contrainte totale à la paroi (après 50 ans).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (à 50 ans)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est l'effet principal de la chaleur émise par les déchets sur la roche confinée ?
- Elle provoque une expansion empêchée, créant une contrainte de compression.
- Elle fait fondre la roche (magmatisme).
2. Comment s'appelle la contrainte tangentielle \(\sigma_{\theta \theta}^{exc} = 2 P_0\) induite par le creusement d'un tunnel circulaire ?
- La solution de Kirsch
- La loi de Fick
3. Dans le calcul \(\sigma_{\theta \theta}^{tot} = \sigma_{\theta \theta}^{exc} + \sigma_{\theta \theta}^{th}\), les deux termes (mécanique et thermique) sont :
- Tous les deux des compressions tangentielles qui s'additionnent
4. Si la contrainte totale calculée (28.1 MPa) est supérieure à la RCS (25 MPa), cela signifie :
- Il faut augmenter la température pour stabiliser la roche.
5. Que signifie l'acronyme "EDZ" (ou ZED en français) en mécanique des roches ?
- Élasticité Différée par la Zéolithe
- Excavation Damaged Zone (Zone Endommagée par l'Excavation)
Glossaire
- THM (Thermo-Hydro-Mécanique)
- Discipline étudiant les couplages entre les phénomènes Thermiques (chaleur), Hydrauliques (écoulement de l'eau, pression de pore) et Mécaniques (contraintes, déformations) dans un milieu (comme la roche).
- Contrainte de Kirsch
- Solution analytique (mathématique) qui décrit la redistribution des contraintes autour d'une excavation circulaire dans un massif.
- RCS (Résistance à la Compression Simple)
- La contrainte maximale qu'un échantillon de roche peut supporter en compression avant de rompre (aussi appelée \(\sigma_c\)).
- EDZ (Excavation Damaged Zone)
- (Ou ZED en français). C'est la zone de roche, immédiatement autour de la galerie, qui a été fracturée ou endommagée par le processus de creusement lui-même.
- Diffusivité thermique (\(\kappa\))
- Propriété du matériau qui mesure sa capacité à conduire la chaleur par rapport à sa capacité à l'emmagasiner. Une diffusivité élevée signifie que la chaleur se propage rapidement.
D’autres exercices de mécanique des roches:
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