Stabilité d’une Paroi Berlinoise

Génie Civil : Stabilité d'une Fouille Blindée par Paroi Berlinoise

Analyse de la stabilité d'une fouille blindée par une paroi berlinoise

Contexte : Soutenir les Terres en Milieu Urbain

La paroi berlinoise est une technique de soutènement temporaire, très utilisée pour la réalisation de fouilles en milieu urbain (parkings souterrains, stations de métro...). Elle est constituée de profilés métalliques verticaux (les "berlinois"), installés avant le terrassement, entre lesquels on vient placer des éléments de blindage (madriers en bois, plaques de béton...) au fur et à mesure de l'excavation. La stabilité de l'ensemble est assurée par la "fiche" des profilés, c'est-à-dire leur encastrement dans le sol en fond de fouille. La force de pousséeForce horizontale exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement. Elle tend à le déplacer ou à le faire basculer. des terres doit être équilibrée par la force de butéeForce de réaction maximale que le sol peut opposer à un ouvrage qui le comprime. Elle assure la stabilité de l'ouvrage en s'opposant à la poussée. mobilisée sur la partie enterrée.

Remarque Pédagogique : Cet exercice présente le calcul de stabilité d'une paroi en "console", c'est-à-dire sans appuis intermédiaires (tirants ou butons). C'est le cas le plus simple, adapté pour des hauteurs de fouille modérées. Le principe de calcul reste cependant la base pour des parois plus complexes.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les coefficients de poussée et de butée des terres.
Établir les diagrammes de pression du sol sur la paroi.
Déterminer la profondeur d'ancrage (fiche) minimale pour assurer l'équilibre de la paroi.
Calculer l'effort maximal dans la paroi (moment fléchissant) pour son dimensionnement structurel.

Données de l'étude

On souhaite réaliser une fouille de \(H = 4.0 \, \text{m}\) de profondeur dans un massif de sable homogène. Le soutènement est assuré par une paroi berlinoise. On néglige la présence de la nappe phréatique et toute surcharge en tête de paroi.

Schéma de la Paroi Berlinoise

Données géotechniques et de calcul :

Poids volumique du sable : \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\).
Angle de frottement interne : \(\phi' = 30^\circ\).
Cohésion : \(c' = 0 \, \text{kPa}\).
On appliquera un facteur de sécurité de 1.5 sur la butée pour le calcul de la fiche.

Questions à traiter

Calculer les coefficients de poussée (\(K_a\)) et de butée (\(K_p\)) du sol.
Déterminer la profondeur de la fiche (\(f\)) nécessaire pour assurer la stabilité de la paroi.
Calculer le moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\)) dans la paroi.

Correction : Stabilité d'une Paroi Berlinoise

Question 1 : Calcul des Coefficients de Poussée et de Butée

Principe :

Les coefficients de poussée (\(K_a\)) et de butée (\(K_p\)) permettent de relier la contrainte horizontale à la contrainte verticale dans le sol. \(K_a\) est utilisé pour le sol qui "pousse" la paroi, tandis que \(K_p\) est utilisé pour le sol qui "retient" la paroi. Pour un sol pulvérulent, ces coefficients ne dépendent que de l'angle de frottement interne \(\phi'\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ces coefficients sont dérivés de la théorie de Rankine, qui suppose une paroi parfaitement lisse et un sol sans cohésion. C'est une simplification, mais elle est couramment utilisée pour les calculs manuels et donne une bonne première estimation.

Formule(s) utilisée(s) :

K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')}

K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 + \sin(\phi')}{1 - \sin(\phi')}

Donnée(s) :

Angle de frottement interne \(\phi' = 30^\circ\)

Calcul(s) :

1. Calcul du coefficient de poussée \(K_a\) :

\begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(30^\circ) \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{3} \approx 0.333 \end{aligned}

2. Calcul du coefficient de butée \(K_p\) :

\begin{aligned} K_p &= \tan^2\left(45^\circ + \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(60^\circ) \\ &= (\sqrt{3})^2 \\ &= 3 \end{aligned}

Points de vigilance :

Relation entre Ka et Kp : Pour un sol sans cohésion et une paroi lisse, on a toujours la relation \(K_p = 1/K_a\). C'est un bon moyen de vérifier rapidement ses calculs.

Le saviez-vous ?

Résultat : Les coefficients sont \(K_a = 1/3\) et \(K_p = 3\).

Question 2 : Détermination de la Fiche Requise (\(f\))

Principe :

La paroi est stable si le moment des forces de butée (qui retiennent la paroi) est supérieur ou égal au moment des forces de poussée (qui tendent à la faire basculer). On écrit l'équilibre des moments par rapport au point de pivot, qui est supposé se trouver à la base de la paroi. Pour assurer la sécurité, on divise la résistance (la butée) par un facteur de sécurité.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul est une simplification dite "en pied de fiche". Il suppose que la paroi pivote autour de sa base. En réalité, le mécanisme est plus complexe, mais cette méthode donne une première estimation de la fiche nécessaire, généralement augmentée de 20% en pratique pour tenir compte des simplifications.

Formule(s) utilisée(s) :

Équilibre des moments par rapport à la base :

\sum M_{\text{base}} = 0 \Rightarrow M_{\text{poussée}} = \frac{M_{\text{butée}}}{FS}

La force de poussée est \(F_a = \frac{1}{2} K_a \gamma (H+f)^2\) et son bras de levier est \(\frac{H+f}{3}\).

La force de butée est \(F_p = \frac{1}{2} K_p \gamma f^2\) et son bras de levier est \(\frac{f}{3}\).

Donnée(s) :

Hauteur de fouille \(H = 4.0 \, \text{m}\)
\(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\), \(K_a = 1/3\), \(K_p = 3\)
Facteur de sécurité \(FS = 1.5\)

Calcul(s) :

1. Équation des moments :

\left(\frac{1}{2} K_a \gamma (H+f)^2\right) \times \frac{H+f}{3} = \frac{1}{FS} \left(\frac{1}{2} K_p \gamma f^2\right) \times \frac{f}{3}

2. Simplification et résolution :

\begin{aligned} K_a (H+f)^3 &= \frac{K_p f^3}{FS} \\ \frac{1}{3} (4+f)^3 &= \frac{3 f^3}{1.5} \\ \frac{1}{3} (4+f)^3 &= 2 f^3 \\ (4+f)^3 &= 6 f^3 \\ 4+f &= \sqrt[3]{6} \times f \\ 4+f &= 1.817 f \\ 4 &= 0.817 f \\ f &= \frac{4}{0.817} \approx 4.9 \, \text{m} \end{aligned}

Points de vigilance :

Choix du facteur de sécurité : Le facteur de sécurité de 1.5 est une valeur courante, mais il peut être augmenté si les incertitudes sur les paramètres du sol sont grandes ou si les conséquences d'une rupture sont particulièrement graves.

Le saviez-vous ?

Résultat : La fiche théorique requise est \(f = 4.9 \, \text{m}\). En pratique, on majorerait cette valeur (ex: \(1.2 \times 4.9 \approx 5.9 \, \text{m}\)).

Question 3 : Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{\text{max}}\))

Principe :

Le moment fléchissant dans la paroi est maximal à la profondeur \(z_0\) où l'effort tranchant s'annule. L'effort tranchant à une profondeur \(z\) est l'intégrale des pressions (poussée - butée) au-dessus de ce point. On cherche donc le point où la résultante des forces de poussée est égale à la résultante des forces de butée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul du moment maximal est essentiel pour le dimensionnement structurel de la paroi. C'est cette valeur qui déterminera le type de profilé métallique (par exemple, un HBE, HEA ou IPE) à utiliser pour les "berlinois".

Formule(s) utilisée(s) :

L'effort tranchant T(z) s'annule lorsque \(\int_0^z \sigma(x) dx = 0\). On cherche \(z_0\) tel que :

\frac{1}{2} K_a \gamma z_0^2 = 0 \Rightarrow \text{Erreur, la butée n'agit qu'en dessous de H}

L'effort tranchant s'annule lorsque la poussée au-dessus de z est nulle. L'effort tranchant est l'intégrale de la poussée. Il s'annule lorsque la dérivée du moment est nulle. Le moment est maximal lorsque l'effort tranchant est nul. L'effort tranchant est nul lorsque la poussée résultante au-dessus de ce point est équilibrée par la butée résultante. Pour une paroi en console, le moment max est à la base.

Moment maximal (pour une paroi en console simple) se situe à la base (\(z=H+f\)) mais le calcul est plus complexe. Une approximation courante est de calculer le moment au niveau du fond de fouille (\(z=H\)) :

M_{\text{max}} \approx M(z=H) = \left(\frac{1}{2} K_a \gamma H^2\right) \times \frac{H}{3}

Donnée(s) :

Hauteur de fouille \(H = 4.0 \, \text{m}\)
\(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\), \(K_a = 1/3\)

Calcul(s) :

Calcul du moment maximal approché en fond de fouille :

\begin{aligned} M_{\text{max}} &\approx \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 18 \times 4.0^2\right) \times \frac{4.0}{3} \\ &= (3 \times 16) \times \frac{4.0}{3} \\ &= 48 \times \frac{4.0}{3} \\ &= 64 \, \text{kN.m/ml} \end{aligned}

Le résultat est en kN.m par mètre linéaire de paroi.

Points de vigilance :

Localisation du Moment Maximal : L'approximation du moment maximal en fond de fouille est très simplificatrice. Le vrai moment maximal se situe à la profondeur où l'effort tranchant est nul, qui est un peu en dessous du fond de fouille. Des méthodes graphiques ou des logiciels permettent de le localiser et de le calculer plus précisément.

Le saviez-vous ?

Résultat : Le moment fléchissant maximal approché est de 64 kN.m/ml.

Simulation Interactive

Faites varier la hauteur de la fouille et l'angle de frottement du sol pour voir leur impact sur la fiche requise et le moment maximal.

Paramètres du Projet

Hauteur de fouille H (4.0 m)

Angle de frottement (\(\phi'\)) (30°)

Fiche requise (f)

Moment Maximal (M_max)

Résultats du Dimensionnement

Le Saviez-Vous ?

Le nom "Paroi Berlinoise" vient de son utilisation intensive pour la construction du métro de Berlin au début du 20ème siècle. C'est une technique robuste et économique qui reste, plus de 100 ans après, l'une des méthodes de soutènement temporaire les plus populaires au monde.

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment le blindage est-il mis en place ?

Le blindage est installé au fur et à mesure du terrassement. On creuse sur une hauteur limitée (ex: 1m à 1.5m), on glisse les madriers ou les plaques de béton entre les ailes des profilés métalliques, puis on recommence l'opération. Cela garantit que le terrain n'est jamais laissé ouvert sur une grande hauteur, minimisant les risques d'éboulement.

Que se passe-t-il si la paroi est butonnée ou ancrée par des tirants ?

L'ajout d'un ou plusieurs niveaux de butons ou de tirants change complètement le comportement de la paroi. Elle ne travaille plus en console mais comme une poutre continue sur appuis multiples. Les moments fléchissants et la fiche requise sont alors considérablement réduits, ce qui permet de réaliser des fouilles beaucoup plus profondes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle de frottement \(\phi'\) du sol augmente, la fiche requise pour une même hauteur de fouille :

Diminue.
Augmente.
Reste la même.

2. Une paroi berlinoise est généralement considérée comme :

Un ouvrage de soutènement définitif et étanche.
Une solution adaptée aux sols rocheux.
Un ouvrage de soutènement temporaire et drainant.

Glossaire

Paroi Berlinoise: Type de paroi de soutènement discontinue, constituée de profilés métalliques verticaux (les "berlinois") et d'un blindage (généralement en bois) placé entre les profilés au fur et à mesure du terrassement.
Poussée des Terres: État de contrainte minimale exercée par un massif de sol sur un écran qui s'éloigne de lui. C'est une action active.
Butée des Terres: État de contrainte maximale qu'un massif de sol peut mobiliser pour s'opposer au déplacement d'un écran qui le comprime. C'est une résistance passive.
Fiche: Profondeur d'encastrement d'un ouvrage de soutènement dans le sol en fond de fouille. C'est cette partie qui mobilise la butée et assure la stabilité de l'ouvrage.

D’autres exercices d’ouvrages de soutènement:

Stabilité d’une Paroi Berlinoise

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma de la Paroi Berlinoise

Questions à traiter

Correction : Stabilité d'une Paroi Berlinoise

Question 1 : Calcul des Coefficients de Poussée et de Butée

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Détermination de la Fiche Requise (\(f\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{\text{max}}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation Interactive

Paramètres du Projet

Résultats du Dimensionnement

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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