Tracé du Cercle de Mohr et Contrainte à la Rupture
Contexte : L'Analyse de la Stabilité des Sols
En mécanique des sols, il est fondamental de pouvoir prédire si une masse de sol (sous une fondation, dans un talus) va se rompre sous l'effet des charges appliquées. Le cercle de MohrReprésentation graphique de l'état de contrainte en un point, permettant de visualiser les contraintes normales et de cisaillement sur n'importe quelle facette. est un outil graphique puissant qui permet d'analyser l'état de contrainteEnsemble des contraintes (normales et de cisaillement) qui s'exercent en un point donné au sein d'un matériau. en un point. En le combinant avec un critère de rupture, comme le critère de Mohr-CoulombModèle mathématique qui définit la limite de résistance au cisaillement d'un sol en fonction de la contrainte normale, de la cohésion et de l'angle de frottement., on peut déterminer si le sol est stable ou sur le point de céder.
Remarque Pédagogique : La maîtrise du cercle de Mohr est indispensable pour tout ingénieur géotechnicien. C'est le passage obligé pour comprendre comment les contraintes se répartissent dans le sol et pour concevoir des ouvrages (fondations, murs de soutènement, barrages) en toute sécurité.
Objectifs Pédagogiques
- Définir les composantes de la contrainte (\(\sigma\) et \(\tau\)) dans un essai triaxial.
- Calculer les contraintes principalesContraintes normales extrêmes (maximale et minimale) agissant sur des plans où la contrainte de cisaillement est nulle. (\(\sigma_1\) et \(\sigma_3\)) à la rupture.
- Tracer le cercle de Mohr correspondant à un état de contrainte donné.
- Représenter graphiquement le critère de rupture de Mohr-Coulomb.
- Évaluer la sécurité d'un état de contrainte en comparant le cercle de Mohr à la droite de rupture.
Données de l'étude
- Pression de confinement (Contrainte principale mineure, \(\sigma_3\)) : \(150 \, \text{kPa}\)
- Déviateur de contrainte à la rupture (\(\Delta\sigma_{\text{rup}}\)) : \(250 \, \text{kPa}\)
- Paramètres de résistance du sol (critère de Mohr-Coulomb) :
- CohésionRésistance au cisaillement du sol lorsque la contrainte normale est nulle. C'est l'ordonnée à l'origine de la droite de Mohr-Coulomb. effective (\(c'\)) : \(15 \, \text{kPa}\)
- Angle de frottement interneParamètre qui représente la friction entre les grains du sol. C'est l'angle que fait la droite de Mohr-Coulomb avec l'horizontale. effectif (\(\phi'\)) : \(28^\circ\)
Schéma de l'Essai Triaxial
Questions à traiter
- Calculer la contrainte principale majeure (\(\sigma_1\)) à la rupture.
- Déterminer le centre (C) et le rayon (R) du cercle de Mohr à la rupture, puis esquisser le cercle.
- Tracer la droite de rupture de Mohr-Coulomb sur le même graphique.
- Conclure si l'échantillon est stable, à la limite de la rupture ou rompu, en justifiant graphiquement et par le calcul.
Correction : Tracé du Cercle de Mohr et Contrainte à la Rupture
Question 1 : Calcul de la Contrainte Principale Majeure (\(\sigma_1\))
Principe
La contrainte principale majeure \(\sigma_1\) est la somme de la contrainte de confinement \(\sigma_3\) et du déviateur de contrainte \(\Delta\sigma\) appliqué axialement.
Remarque Pédagogique
Point Clé : Le déviateur de contrainte représente l'effort "supplémentaire" que l'on applique pour amener le sol à la rupture, au-delà de l'état de confinement initial. C'est la mesure directe de l'augmentation de la contrainte verticale dans un essai triaxial standard.
Formule(s) utilisée(s)
Donnée(s)
- \(\sigma_3 = 150 \, \text{kPa}\)
- \(\Delta\sigma_{\text{rup}} = 250 \, \text{kPa}\)
Calcul(s)
Points de Vigilance
Attention : Ne pas confondre le déviateur (\(\Delta\sigma\)) avec la contrainte axiale totale (\(\sigma_1\)). La contrainte axiale est la somme du confinement et du déviateur. Assurez-vous aussi que toutes les unités sont cohérentes (ici, tout est en kPa).
Le Saviez-Vous ?
En laboratoire, le déviateur de contrainte est appliqué par un piston mécanique qui augmente progressivement la charge sur le haut de l'échantillon, tandis que la pression de l'eau dans la cellule maintient la contrainte de confinement \(\sigma_3\) constante sur ses faces latérales.
FAQ en rapport avec la question
Que représente physiquement le déviateur de contrainte ?
Il représente la différence entre la contrainte la plus grande (\(\sigma_1\)) et la plus petite (\(\sigma_3\)). C'est une mesure de l'intensité du cisaillement "pur" dans le matériau. Un déviateur nul signifie que le point est soumis à une contrainte hydrostatique (pression égale dans toutes les directions).
Question 2 : Tracé du Cercle de Mohr
Principe
Le cercle de Mohr est entièrement défini par les deux contraintes principales. Son centre se situe au milieu du segment [\(\sigma_3\), \(\sigma_1\)] sur l'axe des contraintes normales, et son rayon est la moitié de la longueur de ce segment.
Remarque Pédagogique
Point Clé : Le cercle est une "carte" de tous les états de contrainte (\(\sigma_n, \tau\)) possibles sur les facettes de toutes orientations. Le point le plus haut du cercle est particulièrement important car il représente le cisaillement maximal (\(\tau_{max}\)) que subit le matériau.
Formule(s) utilisée(s)
Donnée(s)
- \(\sigma_1 = 400 \, \text{kPa}\)
- \(\sigma_3 = 150 \, \text{kPa}\)
Calcul(s)
Schéma du Cercle de Mohr
Points de Vigilance
Attention : Une erreur dans le calcul du centre ou du rayon invalide toute l'analyse graphique. Double-vérifiez toujours ces deux calculs simples mais cruciaux. Assurez-vous que \(\sigma_1\) est bien la plus grande des deux contraintes et \(\sigma_3\) la plus petite.
Le Saviez-Vous ?
Le plan sur lequel agit le cisaillement maximal (\(\tau_{max}=R\)) est orienté à 45° par rapport aux plans principaux. Cependant, ce n'est généralement pas sur ce plan que la rupture se produit dans les sols (sauf pour un sol purement cohérent où \(\phi' = 0\)).
FAQ en rapport avec la question
Le cisaillement maximal est-il toujours égal au rayon ?
Oui. Le rayon du cercle de Mohr représente la contrainte de cisaillement maximale, \(\tau_{max}\), qui se produit en un point. Il est atteint sur les plans orientés à 45° des plans principaux. C'est une valeur fondamentale pour évaluer l'intensité du cisaillement.
Question 3 : Tracé de la Droite de Rupture
Principe
La droite de Mohr-Coulomb représente la résistance au cisaillement maximale (\(\tau_f\)) que le sol peut supporter pour une contrainte normale (\(\sigma_n\)) donnée. C'est une droite dans le plan (\(\sigma, \tau\)).
Remarque Pédagogique
Point Clé : La droite de rupture est une propriété intrinsèque du matériau (ici, le sable argileux). Peu importe les contraintes appliquées (la taille et la position du cercle), le sol ne peut pas supporter un état de contrainte qui se situerait au-dessus de cette ligne.
Formule(s) utilisée(s)
Donnée(s)
- \(c' = 15 \, \text{kPa}\)
- \(\phi' = 28^\circ\)
Calcul(s)
Le tracé ne nécessite pas de calcul complexe mais une interprétation des paramètres. La droite a une ordonnée à l'origine égale à la cohésion \(c' = 15 \, \text{kPa}\) et une pente de \(\tan(\phi') = \tan(28^\circ) \approx 0.532\). On la trace graphiquement.
Graphique combiné : Cercle et Droite de Rupture
Points de Vigilance
Attention : La plus grosse erreur est d'oublier de régler sa calculatrice en mode "degrés" pour calculer \(\tan(\phi')\). Faites aussi attention à bien positionner l'ordonnée à l'origine \(c'\) si elle n'est pas nulle, c'est un point clé du tracé.
Le Saviez-Vous ?
Pour des sables propres, la cohésion \(c'\) est nulle et la droite de rupture passe par l'origine. Pour des argiles saturées testées en conditions non drainées, on observe un comportement où l'angle de frottement est nul (\(\phi_u=0\)) et la droite devient horizontale, signifiant que la résistance au cisaillement ne dépend pas de la contrainte normale.
FAQ en rapport avec la question
Un sable "propre" peut-il vraiment avoir une cohésion ?
En théorie, un sable propre (sans fines argileuses) a une cohésion effective \(c'\) nulle. Cependant, en raison de la succion (pression d'eau négative) dans les sols partiellement saturés, un sable humide peut présenter une "cohésion apparente" qui disparaît s'il est complètement séché ou saturé.
Question 4 : Analyse de la Stabilité
Principe
La rupture se produit si le cercle de Mohr devient tangent à la droite de rupture. Si le cercle est entièrement en dessous de la droite, le sol est stable. S'il coupe la droite, l'état de contrainte est impossible car le sol se serait déjà rompu.
Remarque Pédagogique
Point Clé : La comparaison entre la sollicitation (le cercle, qui représente les contraintes agissantes) et la résistance (la droite, qui représente la capacité du sol) est un concept fondamental en ingénierie. On cherche toujours à ce que la sollicitation soit inférieure à la résistance.
Formule(s) utilisée(s)
Donnée(s)
- \(C = 275 \, \text{kPa}\)
- \(R = 125 \, \text{kPa}\)
- \(c' = 15 \, \text{kPa}\)
- \(\phi' = 28^\circ\)
Calcul(s)
On compare la sollicitation (Rayon \(R = 125 \, \text{kPa}\)) à la résistance disponible (\(142.32 \, \text{kPa}\)).
Points de Vigilance
Attention : L'erreur commune est de simplement vérifier si le sommet du cercle (\(\tau_{max} = R\)) est en dessous de la droite. Ce n'est pas le critère correct. Le point critique est le point de tangence, qui n'est pas au sommet du cercle (sauf si \(\phi'=0\)). La vérification géométrique ou analytique de la tangence est indispensable.
Le Saviez-Vous ?
Au moment de la rupture, l'orientation du plan de glissement par rapport au plan où s'applique \(\sigma_1\) est donnée par l'angle \(\theta = 45^\circ + \phi'/2\). C'est la ligne qui joint le pôle du cercle de Mohr au point de tangence. Pour cet exercice, cela donnerait un plan de rupture à \(45^\circ + 28^\circ/2 = 59^\circ\).
FAQ en rapport avec la question
Comment calculerait-on un coefficient de sécurité (FoS) ?
Le coefficient de sécurité au cisaillement peut être défini comme le rapport de la résistance disponible sur la sollicitation. Ici : \( \text{FoS} = \frac{\tau_f}{\tau} = \frac{C \sin(\phi') + c' \cos(\phi')}{R} = \frac{142.32}{125} \approx 1.14 \). Puisque FoS > 1, le sol est stable.
Tableau Récapitulatif Interactif
Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.
| Paramètre | Valeur Calculée |
|---|---|
| Contrainte principale majeure (\(\sigma_1\)) | Cliquez pour révéler |
| Centre du cercle (C) | Cliquez pour révéler |
| Rayon du cercle (R) / \(\tau_{max}\) | Cliquez pour révéler |
| Résistance au cisaillement max. (\(\tau_{f}\)) | Cliquez pour révéler |
Simulation Interactive du Cercle de Mohr
Variez les paramètres de l'essai et du sol pour visualiser l'état de contrainte et sa proximité à la rupture.
Paramètres de l'Essai et du Sol
Graphique de Mohr-Coulomb
Pour Aller Plus Loin
1. Pôle du cercle de Mohr
Le pôle (ou origine des plans) est un point unique sur le cercle de Mohr qui permet de déterminer graphiquement l'état de contrainte sur une facette de n'importe quelle orientation. Si l'on trace une ligne depuis le pôle avec la même orientation que la facette dans l'espace réel, l'intersection de cette ligne avec le cercle donne le point (\(\sigma_n, \tau\)) sur cette facette.
2. Chemin des contraintes
Au lieu de ne regarder que l'état final à la rupture, on peut tracer l'évolution des contraintes tout au long de l'essai. Le lieu des sommets des cercles de Mohr successifs forme un "chemin des contraintes". Cet outil avancé est utilisé pour analyser le comportement des sols sous des chargements complexes.
Le Saviez-Vous ?
Le cercle de Mohr n'est pas qu'un outil pour les sols. Il a été développé par l'ingénieur allemand Christian Otto Mohr en 1882 et reste une méthode fondamentale en ingénierie des matériaux, en géologie structurale et en mécanique des roches pour analyser la contrainte et la déformation dans n'importe quel milieu continu.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi parle-t-on de contraintes "effectives" (\(c', \phi'\)) ?
Dans un sol saturé, la contrainte totale est supportée à la fois par le squelette solide et par l'eau interstitielle (pression interstitielle u). La rupture du sol n'est gouvernée que par la partie de la contrainte qui s'applique sur le squelette solide : c'est la contrainte effective, définie par le principe de Terzaghi : \(\sigma' = \sigma - u\). L'analyse de stabilité doit presque toujours être menée en contraintes effectives.
Pourquoi la contrainte de cisaillement est-elle nulle sur les plans principaux ?
Par définition. Les plans principaux sont les plans au sein de l'élément de sol qui subissent les contraintes normales maximale et minimale. Sur ces orientations spécifiques, les forces de cisaillement s'annulent. Sur le cercle de Mohr, ces deux états correspondent aux deux points d'intersection du cercle avec l'axe horizontal (\(\tau=0\)).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un état de contrainte est défini par \(\sigma_1 = 300 \, \text{kPa}\) et \(\sigma_3 = 100 \, \text{kPa}\). Quel est le cisaillement maximal \(\tau_{max}\) dans le sol ?
2. Graphiquement, la rupture du sol se produit lorsque...
Glossaire
- État de contrainte
- L'ensemble des contraintes (normales et de cisaillement) agissant en un point d'un matériau. En 2D, il est défini par \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) et \(\tau_{xy}\), ou de manière équivalente par les contraintes principales \(\sigma_1\) et \(\sigma_3\).
- Cercle de Mohr
- Représentation graphique dans le plan (\(\sigma, \tau\)) de l'état de contrainte en un point. Chaque point du cercle représente les contraintes (\(\sigma_n, \tau\)) sur une facette d'orientation donnée.
- Critère de Mohr-Coulomb
- Un modèle mathématique qui définit la résistance au cisaillement d'un matériau. Pour les sols, il est représenté par une droite (\(\tau_f = c' + \sigma'_n \tan(\phi')\)) qui constitue une enveloppe de rupture.
- Contraintes Principales
- Les contraintes normales maximale (\(\sigma_1\)) et minimale (\(\sigma_3\)) en un point. Elles agissent sur des plans où la contrainte de cisaillement est nulle.
- Angle de frottement interne (\(\phi'\))
- Caractéristique intrinsèque d'un sol qui quantifie la résistance au glissement entre les particules solides. C'est l'angle de la droite de Mohr-Coulomb.
- Cohésion (\(c'\))
- Caractéristique d'un sol qui quantifie sa résistance au cisaillement due aux forces d'attraction entre les particules (forces capillaires, cimentation). C'est l'ordonnée à l'origine de la droite de Mohr-Coulomb.
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