Tracé du Cercle de Mohr et Contrainte à la Rupture
Contexte : La mécanique des solsBranche de la géotechnique qui étudie le comportement des sols sous l'effet de contraintes et de déformations..
Un ingénieur géotechnicien doit évaluer la stabilité d'un élément de sol situé sous une nouvelle fondation. Pour ce faire, un échantillon de sol intact a été prélevé et testé en laboratoire à l'aide d'un appareil triaxial. Cet essai permet de simuler les conditions de contraintes que le sol subira en place. L'objectif de cet exercice est d'analyser les résultats de l'essai pour déterminer l'état de contrainte du sol à la rupture en utilisant le cercle de MohrReprésentation graphique des états de contrainte en 2D, permettant de visualiser les contraintes principales et le cisaillement maximal. et le critère de rupture de Mohr-Coulomb.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes fondamentales de l'analyse de la rupture d'un sol, de la détermination des contraintes effectives au tracé du cercle de Mohr et à l'application d'un critère de rupture. C'est une compétence essentielle pour tout projet de génie civil.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer les contraintes principales effectives à partir des données d'un essai triaxial.
- Construire et interpréter le cercle de Mohr pour un état de contrainte donné.
- Déterminer graphiquement et analytiquement l'orientation du plan de rupture.
- Calculer les contraintes normale et de cisaillement sur le plan de rupture.
- Appliquer le critère de rupture de Mohr-CoulombModèle mathématique qui décrit la condition de rupture des sols et des roches en fonction de la contrainte normale et des propriétés du matériau (cohésion et angle de frottement). pour vérifier la stabilité du sol.
Données de l'étude
Paramètres de l'essai et du sol
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Contrainte de confinement (cellulaire) | \(\sigma_3\) | 100 | kPa |
| Déviateur de contrainte à la rupture | \( \sigma_1 - \sigma_3 \) | 300 | kPa |
| Pression interstitielle à la rupture | \( u \) | 50 | kPa |
| Cohésion effective du sol | \( c' \) | 15 | kPa |
| Angle de frottement interne effectif | \( \phi' \) | 30 | degrés |
Questions à traiter
- Calculer la contrainte principale majeure (\(\sigma'_1\)) et mineure (\(\sigma'_3\)) effectives à la rupture.
- Déterminer les caractéristiques du cercle de Mohr (centre C et rayon R) pour les contraintes effectives.
- Déterminer l'orientation du plan de rupture (\(\theta\)) par rapport au plan où s'applique la contrainte principale majeure.
- Calculer la contrainte normale effective (\(\sigma'_f\)) et la contrainte de cisaillement (\(\tau_f\)) sur le plan de rupture.
- À l'aide du critère de Mohr-Coulomb, vérifier que l'état de contrainte appliqué mène bien à la rupture du sol.
Les bases de la Mécanique des Sols
Pour résoudre cet exercice, trois concepts fondamentaux sont nécessaires : le principe des contraintes effectives, la construction du cercle de Mohr et le critère de rupture de Mohr-Coulomb.
1. Principe des Contraintes Effectives (Terzaghi)
La résistance et la déformation d'un sol dépendent de la contrainte effective (\(\sigma'\)), qui est la contrainte totale (\(\sigma\)) moins la pression interstitiellePression de l'eau contenue dans les pores du sol. Elle réduit la contrainte effective entre les grains de sol. (\(u\)). C'est la contrainte qui est effectivement supportée par le squelette solide du sol.
\[ \sigma' = \sigma - u \]
2. Cercle de Mohr
C'est une représentation graphique qui permet de visualiser l'état de contrainte en un point. Pour des contraintes principales \(\sigma'_1\) et \(\sigma'_3\), le cercle a pour :
- Centre : \( C = \frac{\sigma'_1 + \sigma'_3}{2} \)
- Rayon : \( R = \frac{\sigma'_1 - \sigma'_3}{2} \)
3. Critère de Rupture de Mohr-Coulomb
Ce critère définit la résistance au cisaillement (\(\tau_f\)) d'un sol sur un plan donné en fonction de la contrainte normale effective (\(\sigma'_f\)) sur ce plan, de la cohésionForce d'attraction entre les particules de sol, représentant sa résistance au cisaillement à contrainte normale nulle. (\(c'\)) et de l'angle de frottement interneParamètre qui représente la friction entre les grains du sol. Plus cet angle est élevé, plus le sol est résistant au glissement. (\(\phi'\)). Graphiquement, cela correspond à la droite enveloppe de rupture, tangente au cercle de Mohr à la rupture.
\[ \tau_f = c' + \sigma'_f \tan(\phi') \]
Correction : Tracé du Cercle de Mohr et Contrainte à la Rupture
Question 1 : Calculer les contraintes principales effectives (\(\sigma'_1\) et \(\sigma'_3\))
Principe (le concept physique)
Le comportement mécanique d'un sol (sa résistance, sa déformation) est gouverné non pas par la contrainte totale appliquée, mais par la contrainte "effective", celle qui est transmise de grain à grain. La pression de l'eau dans les pores (\(u\)) agit comme un coussin, réduisant la contrainte totale pour ne laisser que la contrainte effective.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le concept de contrainte effective, introduit par Karl von Terzaghi en 1925, est la pierre angulaire de la mécanique des sols moderne. Dans un essai triaxial, \(\sigma_3\) est la pression de confinement appliquée tout autour de l'échantillon, et \(\sigma_1\) est la contrainte axiale. Le déviateur (\(\sigma_1 - \sigma_3\)) représente l'effort de cisaillement supplémentaire qui mène à la rupture.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez toujours à commencer par convertir les contraintes totales en contraintes effectives. C'est une étape préliminaire indispensable pour toute analyse de stabilité ou de tassement en géotechnique. Une erreur à ce stade invaliderait tous les calculs suivants.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul des contraintes effectives et l'utilisation du critère de Mohr-Coulomb sont des méthodes de base prescrites par les normes de conception géotechnique, comme l'Eurocode 7 (NF EN 1997) en Europe.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la contrainte effective mineure
Formule de la contrainte totale majeure
Formule de la contrainte effective majeure
Hypothèses (le cadre du calcul)
- L'échantillon de sol est considéré comme saturé en eau.
- La pression interstitielle \(u\) est uniforme au sein de l'échantillon au moment de la rupture.
- Le sol est un milieu continu, homogène et isotrope.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Contrainte de confinement | \(\sigma_3\) | 100 | kPa |
| Déviateur de contrainte | \(\sigma_1 - \sigma_3\) | 300 | kPa |
| Pression interstitielle | \(u\) | 50 | kPa |
Astuces (Pour aller plus vite)
Notez que la pression interstitielle réduit de la même manière \(\sigma_1\) et \(\sigma_3\). Par conséquent, le déviateur de contrainte est le même en termes totaux et effectifs : \((\sigma_1 - \sigma_3) = (\sigma'_1 - \sigma'_3)\). Cela peut parfois simplifier les calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Illustration du Principe de Contrainte Effective
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la contrainte principale mineure effective \(\sigma'_3\)
Calcul de la contrainte principale majeure totale \(\sigma_1\)
Calcul de la contrainte principale majeure effective \(\sigma'_1\)
Schéma (Après les calculs)
État de contrainte sur un élément de sol
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les contraintes effectives (50 kPa et 350 kPa) sont celles qui contrôlent réellement la résistance du sol. La pression interstitielle de 50 kPa a réduit de manière significative les contraintes totales (100 kPa et 400 kPa), ce qui rend le sol potentiellement plus susceptible à la rupture.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier de soustraire la pression interstitielle, ou de ne la soustraire qu'à une seule des deux contraintes principales. La pression de l'eau est hydrostatique, elle agit donc de manière égale dans toutes les directions et doit être retirée de \(\sigma_1\) et \(\sigma_3\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La résistance d'un sol dépend de la contrainte effective \(\sigma' = \sigma - u\).
- Le déviateur de contrainte est invariant : \((\sigma_1 - \sigma_3) = (\sigma'_1 - \sigma'_3)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Karl von Terzaghi est souvent appelé le "père de la mécanique des sols". Son principe de contrainte effective a révolutionné la compréhension du comportement des sols et a permis de résoudre des problèmes de construction majeurs, comme la stabilisation de la Tour de Pise.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Si la pression interstitielle à la rupture avait été de 80 kPa au lieu de 50, quelle aurait été la valeur de \(\sigma'_1\) ?
Question 2 : Déterminer les caractéristiques du cercle de Mohr (Centre C et Rayon R)
Principe (le concept physique)
Le cercle de Mohr est une "carte" de l'état de contrainte. Il nous montre, pour un point donné dans le sol, l'ensemble des combinaisons de contraintes normales et de cisaillement possibles sur n'importe quel plan passant par ce point. Le centre du cercle représente la contrainte normale moyenne, et le rayon représente l'intensité du cisaillement maximal.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Graphiquement, le cercle de Mohr est tracé dans un repère (\(\sigma', \tau\)). Les contraintes principales effectives \(\sigma'_1\) et \(\sigma'_3\) sont les points où le cercle coupe l'axe horizontal (\(\tau=0\)), car il n'y a pas de cisaillement sur les plans principaux. Le point le plus haut (et le plus bas) du cercle correspond à la contrainte de cisaillement maximale, \(\tau_{\text{max}} = R\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul du centre et du rayon est simple, mais leur signification est profonde. Un grand rayon signifie un état de cisaillement intense, ce qui rapproche le sol de la rupture. Un petit rayon indique un état de contrainte plus "hydrostatique" et généralement plus stable.
Normes (la référence réglementaire)
La construction du cercle de Mohr est une méthode d'analyse graphique standard en mécanique des matériaux et en géotechnique, enseignée et utilisée universellement. Elle est la base visuelle pour l'application de critères de rupture comme celui de Mohr-Coulomb.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule du centre du cercle
Formule du rayon du cercle
Hypothèses (le cadre du calcul)
- L'état de contrainte est supposé être plan (bidimensionnel).
- Les contraintes \(\sigma'_1\) et \(\sigma'_3\) sont bien les contraintes principales maximale et minimale.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Contrainte principale majeure effective | \(\sigma'_1\) | 350 | kPa |
| Contrainte principale mineure effective | \(\sigma'_3\) | 50 | kPa |
Astuces (Pour aller plus vite)
Le rayon \(R\) est simplement la moitié du déviateur de contrainte. Comme nous l'avons vu, \(R = (\sigma_1 - \sigma_3)/2\). Si le déviateur est donné, vous pouvez trouver le rayon directement sans calculer les contraintes effectives au préalable.
Schéma (Avant les calculs)
Construction du Cercle de Mohr
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du centre C
Calcul du rayon R
Schéma (Après les calculs)
Cercle de Mohr de l'état de contrainte
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le centre à 200 kPa indique la contrainte normale moyenne. Le rayon de 150 kPa indique que la contrainte de cisaillement maximale que subit le sol est de 150 kPa. C'est cette valeur qui sera comparée à la résistance au cisaillement du sol.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous d'utiliser les contraintes effectives \(\sigma'_1\) et \(\sigma'_3\) pour le calcul, et non les contraintes totales. Utiliser les contraintes totales donnerait un cercle différent qui ne représente pas correctement le comportement du squelette du sol.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Centre du cercle : \(C = (\sigma'_1 + \sigma'_3) / 2\) (contrainte normale moyenne).
- Rayon du cercle : \(R = (\sigma'_1 - \sigma'_3) / 2\) (cisaillement maximal \(\tau_{\text{max}}\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le cercle de Mohr a été développé par l'ingénieur civil allemand Christian Otto Mohr en 1882. Bien qu'il soit très utilisé en géotechnique, son application est universelle en mécanique des milieux continus pour analyser les contraintes et les déformations, y compris dans les métaux, les fluides et même les tissus biologiques.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Avec \(\sigma'_1 = 250\) kPa et \(\sigma'_3 = 150\) kPa, quel serait le rayon \(R\) du cercle de Mohr ?
Question 3 : Déterminer l'orientation du plan de rupture (\(\theta\))
Principe (le concept physique)
La rupture ne se produit pas sur le plan de cisaillement maximal (qui est à 45°), mais sur un plan légèrement différent. C'est parce que la résistance du sol augmente avec la contrainte normale (le frottement). Le sol "choisit" un plan de rupture qui représente le meilleur compromis : un cisaillement suffisamment élevé pour causer le glissement, mais avec une contrainte normale pas trop forte pour ne pas trop augmenter la résistance.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La théorie de la rupture de Mohr-Coulomb prédit que le glissement se produit sur un plan incliné d'un angle \(\theta\) par rapport au plan principal majeur (le plan perpendiculaire à \(\sigma'_1\)). Cet angle \(\theta\) est directement lié à l'angle de frottement interne \(\phi'\). Plus le frottement est élevé, plus l'angle de rupture s'éloigne de 45°.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette formule est l'une des plus importantes en géotechnique pratique. Elle permet de prédire l'orientation des surfaces de glissement que l'on observe sur le terrain, par exemple dans les glissements de terrain ou sous les fondations. C'est un lien direct entre une propriété du matériau (\(\phi'\)) et un comportement visible à grande échelle.
Normes (la référence réglementaire)
Cette relation géométrique est une conséquence directe du critère de Mohr-Coulomb, qui est, comme mentionné, un pilier des normes de conception géotechnique comme l'Eurocode 7.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de l'angle du plan de rupture
Hypothèses (le cadre du calcul)
- La rupture est régie par le critère de Mohr-Coulomb.
- Le matériau est homogène et isotrope, donc \(\phi'\) est constant dans toutes les directions.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle de frottement interne effectif | \(\phi'\) | 30 | degrés |
Astuces (Pour aller plus vite)
Retenez que pour un sol purement frottant (\(c'=0\)), le plan de rupture est toujours à \(45 + \phi'/2\). Pour un sol purement cohérent (\(\phi'=0\), comme une argile saturée en conditions non drainées), la rupture se produit à \(\theta = 45^\circ\), sur le plan de cisaillement maximal.
Schéma (Avant les calculs)
Orientation du Plan de Rupture
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de l'angle \(\theta\)
Schéma (Après les calculs)
Plan de rupture à 60°
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un angle de 60° signifie que la surface de glissement est inclinée de 60° par rapport au plan horizontal (si \(\sigma'_1\) est vertical, ce qui est souvent le cas sous une fondation). C'est une information cruciale pour analyser les mécanismes de rupture potentiels dans le sol.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à la définition de l'angle \(\theta\). Il est défini par rapport au plan principal majeur. Une autre erreur commune est de mal diviser par deux, par exemple en calculant \((45+30)/2\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'orientation du plan de rupture dépend uniquement de l'angle de frottement \(\phi'\).
- La formule est \(\theta = 45^\circ + \phi'/2\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les surfaces de rupture observées dans les essais en laboratoire sur des échantillons de sable sec forment des bandes de cisaillement très nettes dont l'angle correspond presque parfaitement à la théorie. C'est une des rares fois où un modèle théorique simple se vérifie aussi bien visuellement.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Pour un limon sableux avec un \(\phi' = 25^\circ\), quel serait l'angle \(\theta\) du plan de rupture ?
Question 4 : Calculer les contraintes (\(\sigma'_f\) et \(\tau_f\)) sur le plan de rupture
Principe (le concept physique)
Le point de rupture sur le cercle de Mohr n'est ni le point de contrainte normale maximale (\(\sigma'_1\)), ni le point de cisaillement maximal (\(\tau_{\text{max}}\)). C'est un point spécifique, le point de tangence avec l'enveloppe de rupture, dont les coordonnées (\(\sigma'_f, \tau_f\)) représentent la combinaison critique de contraintes qui initie le glissement.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les équations de transformation des contraintes permettent de calculer \(\sigma'\) et \(\tau\) sur un plan incliné d'un angle \(\alpha\) par rapport au plan principal mineur. Le plan de rupture étant à \(\theta = 45 + \phi'/2\) du plan majeur, il est à \(\alpha = 90 - \theta = 45 - \phi'/2\) du plan mineur. Cependant, il est plus simple d'utiliser des relations géométriques directes dérivées du cercle de Mohr et de l'enveloppe de rupture.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ces calculs permettent de quantifier précisément les conditions de contrainte sur la future surface de glissement. C'est ce couple de valeurs (\(\sigma'_f, \tau_f\)) qui doit satisfaire l'équation de la droite de Mohr-Coulomb pour que la rupture soit validée.
Normes (la référence réglementaire)
Ces formules découlent de la géométrie du cercle de Mohr et de la trigonométrie, des outils mathématiques fondamentaux utilisés dans toutes les disciplines de l'ingénierie structurale et géotechnique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la contrainte normale de rupture
Formule de la contrainte de cisaillement de rupture
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Les formules géométriques sont dérivées en supposant que le point de rupture est le point de tangence entre le cercle et la droite de Mohr-Coulomb.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Centre du cercle | C | 200 | kPa |
| Rayon du cercle | R | 150 | kPa |
| Angle de frottement | \(\phi'\) | 30 | degrés |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour un calcul rapide, mémorisez que \(\sin(30^\circ) = 0.5\) et \(\cos(30^\circ) \approx 0.866\). Ces valeurs sont très fréquentes dans les exercices de mécanique.
Schéma (Avant les calculs)
Coordonnées du Point de Rupture
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la contrainte normale effective de rupture \(\sigma'_f\)
Calcul de la contrainte de cisaillement de rupture \(\tau_f\)
Schéma (Après les calculs)
Cercle de Mohr et Point de Rupture
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ces valeurs représentent le couple de contraintes (\(\sigma', \tau\)) le plus critique sur l'ensemble des plans possibles. C'est sur ce plan, et avec ces contraintes, que le sol va céder par glissement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Utilisez bien les fonctions sinus et cosinus pour les bonnes composantes. Une erreur fréquente est d'inverser les deux. Pensez que \(\sigma'_f\) est une coordonnée horizontale (axe des abscisses) et \(\tau_f\) une coordonnée verticale (axe des ordonnées).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Les contraintes sur le plan de rupture ne sont pas les contraintes maximales.
- Elles dépendent du centre C, du rayon R et de l'angle de frottement \(\phi'\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans l'analyse des tremblements de terre, les ingénieurs utilisent des concepts très similaires pour étudier la rupture des failles. Le cercle de Mohr et les critères de rupture sont des outils fondamentaux non seulement pour les sols, mais aussi pour la roche à l'échelle de la croûte terrestre.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Pour un cercle de centre C=300 kPa, rayon R=200 kPa et un sol avec \(\phi'=25^\circ\), quelle serait la contrainte de cisaillement sur le plan de rupture \(\tau_f\) ?
Question 5 : Vérifier la rupture avec le critère de Mohr-Coulomb
Principe (le concept physique)
La rupture se produit quand la "sollicitation" (la contrainte de cisaillement appliquée, \(\tau\)) égale ou dépasse la "résistance" (la résistance au cisaillement du sol, \(\tau_f\)). Le critère de Mohr-Coulomb est la loi qui définit cette résistance. Si le cercle de Mohr, qui représente toutes les sollicitations possibles, touche cette ligne de résistance, la rupture est imminente.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La droite de Mohr-Coulomb, d'équation \(\tau = c' + \sigma' \tan(\phi')\), représente une barrière dans le plan des contraintes. Tout état de contrainte représenté par un cercle de Mohr situé entièrement sous cette droite est stable. Si le cercle touche la droite, l'état est "critique" ou "à la rupture". Un cercle qui couperait la droite est physiquement impossible, car le sol se serait déjà rompu.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette dernière question est la synthèse de tout l'exercice. Elle connecte les contraintes appliquées (via le cercle de Mohr) aux propriétés intrinsèques du sol (via la droite de Mohr-Coulomb). C'est le cœur du métier de géotechnicien : comparer la sollicitation à la résistance.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 7 impose de vérifier que la contrainte de cisaillement de calcul (\(T_d\)) est inférieure ou égale à la résistance au cisaillement de calcul (\(R_d\)). Notre vérification ici est une application directe de ce principe fondamental de conception.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Condition de tangence (condition de rupture)
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Le critère de Mohr-Coulomb représente adéquatement le comportement à la rupture du sol étudié.
- Les paramètres \(c'\) et \(\phi'\) sont constants et correctement déterminés.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Centre du cercle | C | 200 | kPa |
| Rayon du cercle | R | 150 | kPa |
| Cohésion effective | \(c'\) | 15 | kPa |
| Angle de frottement effectif | \(\phi'\) | 30 | degrés |
Astuces (Pour aller plus vite)
Plutôt que de calculer les deux côtés de l'équation, on peut calculer la résistance (terme de droite) et la comparer à la sollicitation (R). Si \(R \ge \text{Résistance}\), il y a rupture. C'est ce qu'on appelle une vérification de sécurité.
Schéma (Avant les calculs)
Condition de Tangence
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du rayon résistant \(R_{\text{résistance}}\)
Schéma (Après les calculs)
Comparaison du Cercle de Mohr et de l'Enveloppe de Rupture
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte de cisaillement maximale appliquée par l'essai (\(R = 150\) kPa) est nettement supérieure à la résistance maximale que le sol peut mobiliser pour cet état de contrainte normale moyen (\(R_{\text{résistance}} \approx 113\) kPa). Cela confirme non seulement que le sol est à la rupture, mais aussi que les paramètres de l'essai (\(\sigma_3, \Delta\sigma\)) et les paramètres du sol (\(c', \phi'\)) ne sont pas cohérents entre eux. Dans un cas réel, cela pourrait indiquer une erreur de mesure ou que le critère de Mohr-Coulomb n'est pas parfaitement adapté à ce sol.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne concluez pas trop vite à partir du calcul de la question 4. Comme nous l'avons vu, ces formules sont une approximation. La vérification formelle de la tangence est la méthode la plus robuste et la plus correcte pour valider la condition de rupture pour un sol avec cohésion.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La rupture survient lorsque le cercle de Mohr est tangent à l'enveloppe de rupture.
- La condition de tangence est \(R = C \sin(\phi') + c' \cos(\phi')\).
- Comparer le rayon du cercle (sollicitation) au rayon résistant (résistance) est une vérification de sécurité.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le critère de Mohr-Coulomb est une simplification (une ligne droite). En réalité, l'enveloppe de rupture de nombreux sols est légèrement courbe. Des critères plus avancés (comme le critère de Hoek-Brown pour les roches ou Lade-Duncan pour les sables) utilisent des enveloppes courbes pour modéliser plus précisément le comportement du matériau.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Un sol a \(c'=10\) kPa et \(\phi'=25^\circ\). Pour un état de contrainte de centre C=150 kPa, quel est le rayon maximal \(R\) que le cercle de Mohr peut avoir avant la rupture ?
Schéma de Synthèse Complet
Diagramme de Mohr-Coulomb Complet
Outil Interactif : Influence de c' et \(\phi'\) sur la Résistance
Utilisez les curseurs pour faire varier la cohésion et l'angle de frottement. Observez comment l'enveloppe de rupture se déplace et comment la résistance au cisaillement du sol change pour un état de contrainte donné.
Paramètres du Sol
Résistance du Sol (pour C=200 kPa)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Selon le principe de Terzaghi, la contrainte effective est :
2. Le rayon du cercle de Mohr représente :
3. Pour un sol avec un angle de frottement \(\phi' = 20^\circ\), l'angle du plan de rupture \(\theta\) est :
- Contrainte Effective (\(\sigma'\))
- La contrainte supportée par le squelette solide d'un sol, calculée comme la contrainte totale moins la pression de l'eau interstitielle. C'est le paramètre clé qui régit le comportement mécanique du sol.
- Critère de Mohr-Coulomb
- Un modèle mathématique qui définit la limite de résistance d'un sol. Il est représenté par une droite dans le plan (\(\sigma', \tau\)) qui est tangente au cercle de Mohr lorsque le sol atteint la rupture.
- Cohésion (\(c'\))
- Mesure des forces qui lient les particules d'un sol (surtout les argiles). C'est la résistance au cisaillement du sol lorsque la contrainte normale effective est nulle.
- Angle de Frottement Interne (\(\phi'\))
- Paramètre qui quantifie la friction entre les grains d'un sol. Il représente l'augmentation de la résistance au cisaillement avec l'augmentation de la contrainte normale effective.
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